Работа в группе, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Обсудите вопрос о нахождении угла между прямыми $l_1$ и $l_2$.

Как можно применить векторы $\vec{p_1}(m_1; n_1; k_1)$ и $\vec{p_2}(m_2; n_2; k_2)$ для определения данного угла? Как правило, если заранее не оговорено, то в качестве угла между прямыми принимается острый угол из двух образованных углов между ними. При обсуждении учтите это обстоятельство и ответы предложите всему классу. Найдите углы между следующими прямыми $l_1$ и $l_2$:

Угол между двумя прямыми в пространстве определяется как острый угол между их направляющими векторами. Если даны направляющие векторы прямых $\vec{p_1} = (m_1; n_1; k_1)$ и $\vec{p_2} = (m_2; n_2; k_2)$, то косинус угла $\alpha$ между прямыми находится по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{p_1} \cdot \vec{p_2}|}{|\vec{p_1}| \cdot |\vec{p_2}|} = \frac{|m_1 m_2 + n_1 n_2 + k_1 k_2|}{\sqrt{m_1^2 + n_1^2 + k_1^2} \cdot \sqrt{m_2^2 + n_2^2 + k_2^2}}$

Из этой формулы можно найти сам угол: $\alpha = \arccos(\cos \alpha)$. Модуль в числителе гарантирует, что мы получим косинус острого угла (неотрицательное значение), как и требуется по условию.

1. Уравнение прямой $l_1$: $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{1}$. Ее направляющий вектор $\vec{p_1} = (2; 3; 1)$.

Уравнение прямой $l_2$: $\frac{x+2}{4} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-3}{3}$. Ее направляющий вектор $\vec{p_2} = (4; -2; 3)$.

Найдем скалярное произведение направляющих векторов: $\vec{p_1} \cdot \vec{p_2} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + 1 \cdot 3 = 8 - 6 + 3 = 5$.

Найдем длины (модули) векторов: $|\vec{p_1}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ и $|\vec{p_2}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми: $\cos \alpha = \frac{|\vec{p_1} \cdot \vec{p_2}|}{|\vec{p_1}| \cdot |\vec{p_2}|} = \frac{|5|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{406}}$.

Следовательно, угол между прямыми равен $\alpha = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{406}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{5}{\sqrt{406}}\right)$.

2. Уравнение прямой $l_1$: $\frac{x+2}{4} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-3}{3}$. Ее направляющий вектор $\vec{p_1} = (4; -2; 3)$.

Уравнение прямой $l_2$: $x = 5-t, y = 5+2t, z = 2+3t$. Ее направляющий вектор $\vec{p_2} = (-1; 2; 3)$.

Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{p_1} \cdot \vec{p_2} = 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 + 3 \cdot 3 = -4 - 4 + 9 = 1$.

Найдем длины векторов: $|\vec{p_1}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$ и $|\vec{p_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми: $\cos \alpha = \frac{|\vec{p_1} \cdot \vec{p_2}|}{|\vec{p_1}| \cdot |\vec{p_2}|} = \frac{|1|}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{406}}$.

Следовательно, угол между прямыми равен $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{406}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{406}}\right)$.

3. Уравнение прямой $l_1$: $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{1}$. Ее направляющий вектор $\vec{p_1} = (-2; 3; 1)$.

Уравнение прямой $l_2$: $\frac{x+1}{4} = \frac{y-3}{-5} = \frac{z-2}{1}$. Ее направляющий вектор $\vec{p_2} = (4; -5; 1)$.

Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{p_1} \cdot \vec{p_2} = (-2) \cdot 4 + 3 \cdot (-5) + 1 \cdot 1 = -8 - 15 + 1 = -22$.

Найдем длины векторов: $|\vec{p_1}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ и $|\vec{p_2}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 25 + 1} = \sqrt{42}$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми: $\cos \alpha = \frac{|\vec{p_1} \cdot \vec{p_2}|}{|\vec{p_1}| \cdot |\vec{p_2}|} = \frac{|-22|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{42}} = \frac{22}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14 \cdot 3}} = \frac{22}{14\sqrt{3}} = \frac{11}{7\sqrt{3}} = \frac{11\sqrt{3}}{21}$.

Следовательно, угол между прямыми равен $\alpha = \arccos\left(\frac{11\sqrt{3}}{21}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{11\sqrt{3}}{21}\right)$.

4. Уравнение прямой $l_1$: $x = 6+2t, y = 3-2t, z = -1-3t$. Ее направляющий вектор $\vec{p_1} = (2; -2; -3)$.

Уравнение прямой $l_2$: $x = 5+t, y = 5+2t, z = 2+2t$. Ее направляющий вектор $\vec{p_2} = (1; 2; 2)$.

Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{p_1} \cdot \vec{p_2} = 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + (-3) \cdot 2 = 2 - 4 - 6 = -8$.

Найдем длины векторов: $|\vec{p_1}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$ и $|\vec{p_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми: $\cos \alpha = \frac{|\vec{p_1} \cdot \vec{p_2}|}{|\vec{p_1}| \cdot |\vec{p_2}|} = \frac{|-8|}{\sqrt{17} \cdot 3} = \frac{8}{3\sqrt{17}} = \frac{8\sqrt{17}}{51}$.

Следовательно, угол между прямыми равен $\alpha = \arccos\left(\frac{8\sqrt{17}}{51}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{8\sqrt{17}}{51}\right)$.