Вопросы, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как определить угол между прямыми (по заданным уравнениям прямых)? Какой угол принять в качестве угла между скрещивающимися прямыми?

2. Как определить угол между прямой и плоскостью? Напишите формулу и поясните ее смысл.

3. Как определить угол между двумя плоскостями (по заданным уравнениям плоскостей)? Напишите формулу и поясните ее смысл.

4. Почему нельзя определять углы треугольника с помощью уравнений прямых, проходящих через соответствующие стороны треугольника? Обоснуйте ответ. Какие векторы используются для определения угла $\angle ABC$?

1. Угол между двумя прямыми в пространстве определяется как угол между их направляющими векторами. Пусть даны две прямые с направляющими векторами $\vec{s_1} = (l_1, m_1, n_1)$ и $\vec{s_2} = (l_2, m_2, n_2)$.

Углом между прямыми принято считать острый угол (или прямой), который они образуют. Косинус этого угла $\phi$ вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}|}{|\vec{s_1}| |\vec{s_2}|} = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \cdot \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$

Модуль в числителе гарантирует, что косинус будет неотрицательным, и, следовательно, угол $\phi$ будет в пределах от 0 до 90 градусов (от 0 до $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Для скрещивающихся прямых (которые не пересекаются и не параллельны) угол определяется аналогично. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым. Таким образом, для нахождения угла между скрещивающимися прямыми используются их направляющие векторы и та же самая формула, что и для пересекающихся прямых.

Ответ: Угол между прямыми определяется как острый угол между их направляющими векторами $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ по формуле $\cos \phi = \frac{|\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}|}{|\vec{s_1}| |\vec{s_2}|}$. Углом между скрещивающимися прямыми принимается угол между их направляющими векторами, который вычисляется по той же формуле.

2. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Для его вычисления используются направляющий вектор прямой $\vec{s} = (l, m, n)$ и нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (A, B, C)$.

Пусть $\phi$ — искомый угол между прямой и плоскостью, а $\psi$ — угол между вектором $\vec{s}$ и вектором $\vec{n}$. Геометрически, угол $\phi$ и угол $\psi$ дополняют друг друга до 90 градусов ($\phi + \psi = 90^\circ$). Следовательно, $\sin \phi = \cos \psi$.

Формула для определения угла между прямой и плоскостью:

$\sin \phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| |\vec{n}|} = \frac{|Al + Bm + Cn|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{l^2 + m^2 + n^2}}$

Смысл формулы: Мы находим косинус угла $\psi$ между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Так как синус угла равен косинусу дополнительного угла ($\sin \phi = \cos(90^\circ - \phi)$), то, вычисляя косинус угла между $\vec{s}$ и $\vec{n}$, мы на самом деле находим синус искомого угла $\phi$ между прямой и плоскостью. Модуль скалярного произведения используется для того, чтобы получить острый угол.

Ответ: Угол $\phi$ между прямой с направляющим вектором $\vec{s}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется по формуле $\sin \phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| |\vec{n}|}$. Формула вычисляет синус угла между прямой и ее проекцией на плоскость через косинус угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

3. Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Пусть даны две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$. Их нормальные векторы соответственно $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$.

Две плоскости при пересечении образуют две пары равных двугранных углов (один острый, другой тупой, если плоскости не перпендикулярны). Углом между плоскостями принято считать острый угол. Косинус этого угла $\phi$ вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Смысл формулы: Эта формула находит косинус угла между нормальными векторами (перпендикулярами) к плоскостям. Угол между перпендикулярами к плоскостям равен линейному углу соответствующего двугранного угла, образованного этими плоскостями. Использование модуля в числителе гарантирует, что мы получим значение косинуса для острого угла.

Ответ: Угол $\phi$ между двумя плоскостями с нормальными векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ определяется по формуле $\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$. Смысл формулы в том, что угол между плоскостями равен острому углу между их нормальными векторами.

4. Определять углы треугольника с помощью уравнений прямых, содержащих его стороны, нельзя, потому что формула для угла между прямыми по умолчанию находит острый угол между ними. Это достигается за счет использования модуля скалярного произведения в числителе формулы: $\cos \phi = \frac{|\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}|}{|\vec{s_1}| |\vec{s_2}|}$.

Однако внутренний угол треугольника может быть тупым (больше 90°). В таком случае формула для угла между прямыми даст не внутренний угол треугольника, а смежный с ним острый угол. Например, если внутренний угол треугольника равен 120°, то угол между соответствующими прямыми будет рассчитан как 60°.

Для корректного определения угла $\angle ABC$ треугольника $ABC$ необходимо использовать векторы, исходящие из вершины этого угла. Такими векторами являются $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Угол между ними находится по формуле косинуса угла между векторами, но без модуля в числителе:

$\cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$

Если результат (косинус) будет положительным, угол острый. Если отрицательным — тупым. Если нулевым — прямым. Такой подход позволяет однозначно определить величину внутреннего угла треугольника.

Ответ: Нельзя, так как стандартная формула для угла между прямыми всегда дает острый угол, в то время как угол треугольника может быть тупым. Для определения угла $\angle ABC$ используются векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, исходящие из вершины B, и формула $\cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$.