Номер 2.67, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.67. Найдите угол между прямой $\begin{cases} 2x+y-4z+1=0, \\ x-y+z-1=0 \end{cases}$ и прямой, проходящей через точку $M_0(2; 3; -1)$ и начало координат.

Угол между двумя прямыми в пространстве — это угол между их направляющими векторами. Найдем направляющие векторы для каждой из двух прямых.

1. Нахождение направляющего вектора первой прямой.

Первая прямая (обозначим ее $L_1$) задана как линия пересечения двух плоскостей:

$P_1: 2x + y - 4z + 1 = 0$

$P_2: x - y + z - 1 = 0$

Нормальный вектор к плоскости $P_1$ имеет координаты $\vec{n_1} = (2; 1; -4)$.

Нормальный вектор к плоскости $P_2$ имеет координаты $\vec{n_2} = (1; -1; 1)$.

Направляющий вектор $\vec{s_1}$ прямой $L_1$ перпендикулярен обоим нормальным векторам $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$. Следовательно, его можно найти как векторное произведение этих векторов:

$\vec{s_1} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -4 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - (-4) \cdot (-1)) - \vec{j}(2 \cdot 1 - (-4) \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)$

$\vec{s_1} = \vec{i}(1 - 4) - \vec{j}(2 + 4) + \vec{k}(-2 - 1) = -3\vec{i} - 6\vec{j} - 3\vec{k}$

Таким образом, направляющий вектор $\vec{s_1} = (-3; -6; -3)$. Для удобства вычислений можно взять коллинеарный ему вектор, разделив все координаты на $-3$. Получим вектор $\vec{a} = (1; 2; 1)$.

2. Нахождение направляющего вектора второй прямой.

Вторая прямая (обозначим ее $L_2$) проходит через точку $M_0(2; 3; -1)$ и начало координат $O(0; 0; 0)$. Направляющим вектором этой прямой $\vec{s_2}$ может служить вектор $\vec{OM_0}$:

$\vec{s_2} = \vec{OM_0} = (2 - 0; 3 - 0; -1 - 0) = (2; 3; -1)$. Обозначим его как $\vec{b} = (2; 3; -1)$.

3. Вычисление угла между прямыми.

Угол $\phi$ между двумя прямыми находится по формуле косинуса угла между их направляющими векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\cos \phi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) = 2 + 6 - 1 = 7$.

Найдем модули (длины) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|7|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{84}} = \frac{7}{\sqrt{4 \cdot 21}} = \frac{7}{2\sqrt{21}}$

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\cos \phi = \frac{7\sqrt{21}}{2\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = \frac{7\sqrt{21}}{2 \cdot 21} = \frac{7\sqrt{21}}{42} = \frac{\sqrt{21}}{6}$.

Следовательно, искомый угол $\phi$ равен арккосинусу этого значения:

$\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{6}\right)$.

Ответ: $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{6}\right)$.