Номер 2.70, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.70. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(2; 0; -2)$ перпендикулярно прямой $\begin{cases} x - 4z + 1 = 0, \\ x - y - 3 = 0. \end{cases}$

Для того чтобы написать уравнение плоскости, нам необходимы две вещи: точка, через которую проходит плоскость, и вектор нормали (перпендикулярный) к этой плоскости.

По условию задачи, плоскость проходит через точку $M_0(2; 0; -2)$.

Также по условию, плоскость перпендикулярна прямой. Это означает, что направляющий вектор прямой будет являться вектором нормали для нашей плоскости.

Найдем направляющий вектор $\vec{s}$ прямой, которая задана как пересечение двух плоскостей:

$\begin{cases} x - 4z + 1 = 0 \\ x - y - 3 = 0 \end{cases}$

Вектор нормали к первой плоскости $\vec{n}_1 = \{1; 0; -4\}$.

Вектор нормали ко второй плоскости $\vec{n}_2 = \{1; -1; 0\}$.

Направляющий вектор прямой $\vec{s}$ перпендикулярен обоим векторам нормали $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$. Следовательно, его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -4 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - (-4) \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 0 - (-4) \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1)$

$\vec{s} = \vec{i}(0 - 4) - \vec{j}(0 + 4) + \vec{k}(-1 - 0) = -4\vec{i} - 4\vec{j} - \vec{k}$

Таким образом, направляющий вектор прямой $\vec{s} = \{-4; -4; -1\}$.

Этот вектор мы можем использовать в качестве вектора нормали $\vec{N}$ для искомой плоскости. Для удобства можно взять коллинеарный ему вектор, умножив на $-1$: $\vec{N} = \{4; 4; 1\}$.

Теперь у нас есть точка $M_0(2; 0; -2)$ и вектор нормали $\vec{N}=\{A; B; C\} = \{4; 4; 1\}$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $\{A; B; C\}$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставим наши значения:

$4(x - 2) + 4(y - 0) + 1(z - (-2)) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4x - 8 + 4y + z + 2 = 0$

$4x + 4y + z - 6 = 0$

Ответ: $4x + 4y + z - 6 = 0$