Номер 2.71, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.71. Даны плоскость $x = 4z + 10$ и прямая $\begin{cases} x + y - z + 1 = 0, \\ 2x - y + z + 1 = 0. \end{cases}$

Найдите:

1) точку их пересечения;

2) угол между ними.

1) точку их пересечения

Для нахождения точки пересечения плоскости и прямой необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнения плоскости и уравнений, задающих прямую. Запишем эту систему:

$$ \begin{cases} x - 4z - 10 = 0 \\ x + y - z + 1 = 0 \\ 2x - y + z + 1 = 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 4z + 10$. Подставим это выражение во второе и третье уравнения системы:

$$ \begin{cases} (4z + 10) + y - z + 1 = 0 \\ 2(4z + 10) - y + z + 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y + 3z + 11 = 0 \\ -y + 9z + 21 = 0 \end{cases} $$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $y$ и $z$. Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$:

$(y + 3z + 11) + (-y + 9z + 21) = 0$

$12z + 32 = 0 \Rightarrow 12z = -32 \Rightarrow z = -\frac{32}{12} = -\frac{8}{3}$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $z$ в уравнение $y + 3z + 11 = 0$:

$y + 3(-\frac{8}{3}) + 11 = 0 \Rightarrow y - 8 + 11 = 0 \Rightarrow y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3$.

Наконец, найдем $x$, подставив значение $z$ в выражение $x = 4z + 10$:

$x = 4(-\frac{8}{3}) + 10 = -\frac{32}{3} + \frac{30}{3} = -\frac{2}{3}$.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-\frac{2}{3}, -3, -\frac{8}{3})$.

Ответ: $(-\frac{2}{3}, -3, -\frac{8}{3})$.

2) угол между ними

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью находится по формуле $\sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|}$, где $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости, а $\vec{s}$ — направляющий вектор прямой.

Приведем уравнение плоскости $x = 4z + 10$ к общему виду $x + 0y - 4z - 10 = 0$. Вектор нормали к плоскости имеет координаты коэффициентов при $x, y, z$: $\vec{n} = (1, 0, -4)$.

Направляющий вектор прямой $\vec{s}$, заданной пересечением двух плоскостей $x + y - z + 1 = 0$ и $2x - y + z + 1 = 0$, можно найти как векторное произведение их векторов нормалей $\vec{n_1} = (1, 1, -1)$ и $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$.

$$ \vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) = (0, -3, -3). $$

Теперь вычислим необходимые значения для формулы синуса угла. Скалярное произведение векторов:

$\vec{n} \cdot \vec{s} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-3) + (-4) \cdot (-3) = 12$.

Модули векторов:

$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.

$|\vec{s}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Подставляем найденные значения в формулу:

$$ \sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|} = \frac{|12|}{\sqrt{17} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{34}}. $$

Следовательно, угол $\alpha$ между прямой и плоскостью равен арксинусу этого значения.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right)$.