Номер 2.75, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.75. Точки $A(1; 8; -3)$, $B(3; 4; 1)$, $C(-1; 2; 3)$, $A_1(-3; -2; 5)$ являются вершинами параллелепипеда $ABCD A_1B_1C_1D_1$. Найдите:

1) координаты других вершин;

2) уравнение ребер $\text{AB}$, $\text{AC}$ и $AA_1$;

3) $\angle ABC$;

4) угол между ребром $AA_1$ и плоскостью основания;

5) величину двугранных углов, смыкающихся вдоль ребер $\text{AB}$, $\text{AC}$ и $AA_1$.

Поскольку в условии задачи в пунктах 2) и 5) упоминаются ребра $AB$, $AC$ и $AA_1$, будем считать, что параллелепипед построен на векторах $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$, исходящих из вершины $A$. Несмотря на стандартное обозначение $ABCDA_1B_1C_1D_1$, данная интерпретация является наиболее последовательной для всех пунктов задачи.

Даны координаты вершин: $A(1; 8; -3)$, $B(3; 4; 1)$, $C(-1; 2; 3)$, $A_1(-3; -2; 5)$.

Найдем векторы, образующие ребра, исходящие из вершины $A$: $\vec{AB} = (3-1; 4-8; 1-(-3)) = (2; -4; 4)$ $\vec{AC} = (-1-1; 2-8; 3-(-3)) = (-2; -6; 6)$ $\vec{AA_1} = (-3-1; -2-8; 5-(-3)) = (-4; -10; 8)$

1) координаты других вершин

Остальные вершины параллелепипеда можно найти, используя правило параллелограмма (векторное сложение). Пусть $D, B_1, C_1, D_1$ - остальные вершины.

Вершина $D$ (в данной нестандартной конфигурации она является четвертой вершиной параллелограмма, построенного на векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$): $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}$. Координаты точки $D$ равны сумме координат векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, добавленной к координатам точки $A$, или $D = A + (B-A) + (C-A) = B+C-A$: $D = (3+(-1)-1; 4+2-8; 1+3-(-3)) = (1; -2; 7)$.

Вершина $B_1$ получается сдвигом точки $B$ на вектор $\vec{AA_1}$: $B_1 = B + \vec{AA_1} = (3+(-4); 4+(-10); 1+8) = (-1; -6; 9)$.

Вершина $C_1$ получается сдвигом точки $C$ на вектор $\vec{AA_1}$: $C_1 = C + \vec{AA_1} = (-1+(-4); 2+(-10); 3+8) = (-5; -8; 11)$.

Вершина $D_1$ (самая дальняя от $A$) получается сдвигом точки $D$ на вектор $\vec{AA_1}$: $D_1 = D + \vec{AA_1} = (1+(-4); -2+(-10); 7+8) = (-3; -12; 15)$.

Ответ: Координаты других вершин: $D(1; -2; 7)$, $B_1(-1; -6; 9)$, $C_1(-5; -8; 11)$, $D_1(-3; -12; 15)$.

2) уравнение ребер AB, AC и AA₁

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку $(x_0; y_0; z_0)$ с направляющим вектором $(l; m; n)$, имеет вид $\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}$.

Ребро $AB$: проходит через $A(1; 8; -3)$, направляющий вектор $\vec{AB}=(2; -4; 4)$. Можно использовать коллинеарный вектор $(1; -2; 2)$. Уравнение: $\frac{x-1}{1} = \frac{y-8}{-2} = \frac{z+3}{2}$.

Ребро $AC$: проходит через $A(1; 8; -3)$, направляющий вектор $\vec{AC}=(-2; -6; 6)$. Можно использовать коллинеарный вектор $(1; 3; -3)$. Уравнение: $\frac{x-1}{1} = \frac{y-8}{3} = \frac{z+3}{-3}$.

Ребро $AA_1$: проходит через $A(1; 8; -3)$, направляющий вектор $\vec{AA_1}=(-4; -10; 8)$. Можно использовать коллинеарный вектор $(2; 5; -4)$. Уравнение: $\frac{x-1}{2} = \frac{y-8}{5} = \frac{z+3}{-4}$.

Ответ: Уравнение ребра $AB$: $\frac{x-1}{1} = \frac{y-8}{-2} = \frac{z+3}{2}$. Уравнение ребра $AC$: $\frac{x-1}{1} = \frac{y-8}{3} = \frac{z+3}{-3}$. Уравнение ребра $AA_1$: $\frac{x-1}{2} = \frac{y-8}{5} = \frac{z+3}{-4}$.

3) ∠ABC

Угол $\angle ABC$ - это угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. $\vec{BA} = -\vec{AB} = (-2; 4; -4)$. $\vec{BC} = C - B = (-1-3; 2-4; 3-1) = (-4; -2; 2)$. Косинус угла $\theta = \angle ABC$ найдем по формуле: $\cos(\theta) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}$. $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-2)(-4) + (4)(-2) + (-4)(2) = 8 - 8 - 8 = -8$. $|\vec{BA}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = 6$. $|\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{16+4+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$. $\cos(\theta) = \frac{-8}{6 \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{-8}{12\sqrt{6}} = -\frac{2}{3\sqrt{6}} = -\frac{2\sqrt{6}}{18} = -\frac{\sqrt{6}}{9}$.

Ответ: $\angle ABC = \arccos\left(-\frac{\sqrt{6}}{9}\right)$.

4) угол между ребром AA₁ и плоскостью основания

Плоскость основания проходит через точку $A$ и определяется векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Угол $\phi$ между прямой с направляющим вектором $\vec{d}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ находится по формуле $\sin(\phi) = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}| \cdot |\vec{n}|}$. Направляющий вектор ребра $AA_1$ это $\vec{d} = \vec{AA_1} = (-4; -10; 8)$. Вектор нормали к плоскости основания $\vec{n}$ перпендикулярен $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, найдем его как их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -4 & 4 \\ -2 & -6 & 6 \end{vmatrix} = (-24+24)\mathbf{i} - (12-(-8))\mathbf{j} + (-12-8)\mathbf{k} = (0; -20; -20)$. Можно взять коллинеарный вектор $\vec{n'} = (0; 1; 1)$. $|\vec{d}| = |\vec{AA_1}| = \sqrt{(-4)^2 + (-10)^2 + 8^2} = \sqrt{16+100+64} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$. $|\vec{n'}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. $\vec{d} \cdot \vec{n'} = (-4)(0) + (-10)(1) + (8)(1) = -2$. $\sin(\phi) = \frac{|-2|}{6\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{6\sqrt{10}} = \frac{1}{3\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{30}$.

Ответ: Угол равен $\arcsin\left(\frac{\sqrt{10}}{30}\right)$.

5) величину двугранных углов, смыкающихся вдоль ребер AB, AC и AA₁

Двугранный угол - это угол между двумя плоскостями (гранями). Он равен углу между их нормальными векторами. Грань 1 (основание): плоскость $(A, B, C)$, нормаль $\vec{n_1} = (0; 1; 1)$. Грань 2: плоскость $(A, B, A_1)$, нормаль $\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AA_1}$. $\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -4 & 4 \\ -4 & -10 & 8 \end{vmatrix} = (-32+40)\mathbf{i} - (16-(-16))\mathbf{j} + (-20-16)\mathbf{k} = (8; -32; -36)$. Возьмем $\vec{n_2'} = (2; -8; -9)$. Грань 3: плоскость $(A, C, A_1)$, нормаль $\vec{n_3} = \vec{AC} \times \vec{AA_1}$. $\vec{n_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -6 & 6 \\ -4 & -10 & 8 \end{vmatrix} = (-48+60)\mathbf{i} - (-16-(-24))\mathbf{j} + (20-24)\mathbf{k} = (12; -8; -4)$. Возьмем $\vec{n_3'} = (3; -2; -1)$.

Угол $\psi_{AB}$ вдоль ребра $AB$ (между гранями 1 и 2): $\cos(\psi_{AB}) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2'}}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2'}|} = \frac{(0)(2) + (1)(-8) + (1)(-9)}{\sqrt{0^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{2^2+(-8)^2+(-9)^2}} = \frac{-17}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4+64+81}} = \frac{-17}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{149}} = -\frac{17}{\sqrt{298}}$.

Угол $\psi_{AC}$ вдоль ребра $AC$ (между гранями 1 и 3): $\cos(\psi_{AC}) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_3'}}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_3'}|} = \frac{(0)(3) + (1)(-2) + (1)(-1)}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3^2+(-2)^2+(-1)^2}} = \frac{-3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{9+4+1}} = \frac{-3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-3}{\sqrt{28}} = -\frac{3}{2\sqrt{7}}$.

Угол $\psi_{AA_1}$ вдоль ребра $AA_1$ (между гранями 2 и 3): $\cos(\psi_{AA_1}) = \frac{\vec{n_2'} \cdot \vec{n_3'}}{|\vec{n_2'}| \cdot |\vec{n_3'}|} = \frac{(2)(3) + (-8)(-2) + (-9)(-1)}{\sqrt{149} \cdot \sqrt{14}} = \frac{6+16+9}{\sqrt{2086}} = \frac{31}{\sqrt{2086}}$.

Ответ: Двугранный угол вдоль ребра $AB$: $\arccos\left(-\frac{17}{\sqrt{298}}\right)$. Двугранный угол вдоль ребра $AC$: $\arccos\left(-\frac{3}{2\sqrt{7}}\right)$. Двугранный угол вдоль ребра $AA_1$: $\arccos\left(\frac{31}{\sqrt{2086}}\right)$.