Номер 2.68, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.68. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $M_0 (2; 0; -2)$ и:

1) параллельной оси $\text{Oy}$;

2) перпендикулярной оси $\text{Oy}$.

Задача состоит в том, чтобы найти уравнения прямой, проходящей через точку $M_0(2; 0; -2)$ и удовлетворяющей двум различным условиям.

1) параллельной оси Oy

Прямая, параллельная оси $Oy$, имеет тот же направляющий вектор, что и сама ось. Направляющий вектор оси $Oy$ — это вектор $\vec{j} = (0; 1; 0)$. Следовательно, направляющий вектор искомой прямой $\vec{s}$ можно принять равным $\vec{j}$, то есть $\vec{s} = (l; m; n) = (0; 1; 0)$.

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с направляющим вектором $\vec{s} = (l; m; n)$, имеет вид: $$ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} $$ Подставим координаты точки $M_0(2; 0; -2)$ и компоненты направляющего вектора $\vec{s} = (0; 1; 0)$: $$ \frac{x - 2}{0} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - (-2)}{0} $$

Такая запись с нулями в знаменателях является условной и означает, что прямая определяется системой уравнений, получаемой из соответствующих числителей, приравненных к нулю. То есть: $$ \begin{cases} x - 2 = 0 \\ z + 2 = 0 \end{cases} $$ Это означает, что для любой точки на данной прямой абсцисса $x$ всегда равна 2, а аппликата $z$ всегда равна -2, в то время как ордината $y$ может принимать любое значение. Эта система уравнений и является искомым уравнением прямой.

Ответ: $ \begin{cases} x = 2 \\ z = -2 \end{cases} $

2) перпендикулярной оси Oy

Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, перпендикулярных данной прямой (в нашем случае оси $Oy$). Все такие прямые лежат в одной плоскости, которая проходит через заданную точку $M_0$ и перпендикулярна оси $Oy$.

Уравнение этой плоскости можно найти, используя направляющий вектор оси $Oy$, $\vec{j}=(0; 1; 0)$, в качестве вектора нормали к плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

Подставляя наши значения, получаем: $$ 0(x-2) + 1(y-0) + 0(z-(-2)) = 0 $$ $$ y = 0 $$ Таким образом, все искомые прямые лежат в плоскости $y=0$.

Как правило, в таких задачах подразумевается найти уравнение уникальной прямой, которая не только перпендикулярна оси $Oy$, но и пересекает её. Эта прямая является перпендикуляром, опущенным из точки $M_0$ на ось $Oy$.

Найдем точку $P$ — проекцию точки $M_0(2; 0; -2)$ на ось $Oy$. Для этого нужно обнулить координаты $x$ и $z$, оставив координату $y$ без изменений. Получаем точку $P(0; 0; 0)$.

Направляющим вектором искомой прямой будет вектор $\vec{s} = \vec{M_0P}$: $$ \vec{s} = (0 - 2; 0 - 0; 0 - (-2)) = (-2; 0; 2) $$ Для удобства можно взять коллинеарный ему вектор, разделив координаты на -2: $\vec{s}' = (1; 0; -1)$.

Теперь запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(2; 0; -2)$ с направляющим вектором $\vec{s}' = (1; 0; -1)$: $$ \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 0}{0} = \frac{z - (-2)}{-1} $$

Эта условная запись эквивалентна системе двух уравнений: $$ \begin{cases} y - 0 = 0 \\ \frac{x - 2}{1} = \frac{z + 2}{-1} \end{cases} $$ Упростим второе уравнение: $$ -(x-2) = z+2 $$ $$ -x + 2 = z + 2 $$ $$ x + z = 0 $$ Таким образом, искомая прямая задается системой: $$ \begin{cases} y = 0 \\ x + z = 0 \end{cases} $$

Ответ: $ \begin{cases} y = 0 \\ x + z = 0 \end{cases} $