Номер 2.65, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.65. Найдите угол между двумя плоскостями:

1) $2x - 5y - 2z + 4 = 0$ и $x + 2y + z - 6 = 0$;

2) $x + 2y - 2z - 1 = 0$ и $4x - y - 2z + 3 = 0$;

3) $2x + y - 2z - 6 = 0$ и $x + 3y - 2z - 6 = 0$;

4) $3x + 2y - z + 6 = 0$ и $2x + 3y - 2z - 4 = 0$.

Угол $\phi$ между двумя плоскостями, заданными уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, определяется как угол между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Косинус этого угла (обычно берут острый угол) вычисляется по формуле:

$\cos\phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

1) Даны плоскости $2x - 5y - 2z + 4 = 0$ и $x + 2y + z - 6 = 0$.

Нормальные векторы к этим плоскостям: $\vec{n_1} = (2, -5, -2)$ и $\vec{n_2} = (1, 2, 1)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 1 + (-5) \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 2 - 10 - 2 = -10$.

Найдем модули (длины) векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 25 + 4} = \sqrt{33}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

Найдем косинус угла между плоскостями:

$\cos\phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|-10|}{\sqrt{33} \cdot \sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{198}} = \frac{10}{\sqrt{9 \cdot 22}} = \frac{10}{3\sqrt{22}}$.

Следовательно, угол между плоскостями равен $\phi = \arccos\left(\frac{10}{3\sqrt{22}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{10}{3\sqrt{22}}\right)$.

2) Даны плоскости $x + 2y - 2z - 1 = 0$ и $4x - y - 2z + 3 = 0$.

Нормальные векторы: $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$ и $\vec{n_2} = (4, -1, -2)$.

Скалярное произведение:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) = 4 - 2 + 4 = 6$.

Модули векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$.

Косинус угла:

$\cos\phi = \frac{|6|}{3 \cdot \sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}}$.

Угол $\phi = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{21}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{21}}\right)$.

3) Даны плоскости $2x + y - 2z - 6 = 0$ и $x + 3y - 2z - 6 = 0$.

Нормальные векторы: $\vec{n_1} = (2, 1, -2)$ и $\vec{n_2} = (1, 3, -2)$.

Скалярное произведение:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-2) = 2 + 3 + 4 = 9$.

Модули векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.

Косинус угла:

$\cos\phi = \frac{|9|}{3 \cdot \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.

Угол $\phi = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)$.

4) Даны плоскости $3x + 2y - z + 6 = 0$ и $2x + 3y - 2z - 4 = 0$.

Нормальные векторы: $\vec{n_1} = (3, 2, -1)$ и $\vec{n_2} = (2, 3, -2)$.

Скалярное произведение:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) = 6 + 6 + 2 = 14$.

Модули векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$.

Косинус угла:

$\cos\phi = \frac{|14|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{17}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{17}} = \sqrt{\frac{14}{17}}$.

Угол $\phi = \arccos\left(\sqrt{\frac{14}{17}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\sqrt{\frac{14}{17}}\right)$.