Работа в группе, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Обсудите вопрос нахождения угла между этими плоскостями. Как можно использовать их векторы нормали $\vec{n_1} (a_1; b_1; c_1)$ и $\vec{n_2} (a_2; b_2; c_2)$ в данном случае? Обоснуйте ответ и обсудите его вместе с классом. Используя результаты обсуждения, найдите углы между плоскостями $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями определяется как двугранный угол между ними. Величина этого угла равна величине угла между нормальными векторами этих плоскостей (или дополняет его до $180^\circ$). Поэтому для нахождения угла между плоскостями $\alpha_1$ и $\alpha_2$ можно найти угол между их векторами нормали $\vec{n_1}(a_1; b_1; c_1)$ и $\vec{n_2}(a_2; b_2; c_2)$.

Для плоскости, заданной общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вектором нормали является вектор $\vec{n} = (A; B; C)$. Если у нас есть две плоскости: $\alpha_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ и $\alpha_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$, то их векторы нормали: $\vec{n_1} = (a_1; b_1; c_1)$ и $\vec{n_2} = (a_2; b_2; c_2)$.

Косинус угла $\phi$ между векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ вычисляется по формуле скалярного произведения. Поскольку углом между плоскостями принято считать острый угол (от $0^\circ$ до $90^\circ$), то для его нахождения используется модуль скалярного произведения: $\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$.

Из этой формулы следуют частные случаи. Если скалярное произведение $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$, то векторы нормали перпендикулярны, а значит, и плоскости перпендикулярны. Угол между ними равен $90^\circ$. Если векторы нормали коллинеарны, то есть $\vec{n_1} = k \cdot \vec{n_2}$ для некоторого числа $k$, то плоскости параллельны. Угол между ними равен $0^\circ$.

Используем этот подход для нахождения углов между заданными парами плоскостей.

Для плоскостей $\alpha_1: x + 2y + z - 6 = 0$ и $\alpha_2: 4x - y - 2z + 3 = 0$

Векторы нормали к данным плоскостям: $\vec{n_1} = (1; 2; 1)$ и $\vec{n_2} = (4; -1; -2)$. Найдем скалярное произведение векторов нормали: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) = 4 - 2 - 2 = 0$. Так как скалярное произведение векторов нормали равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$ также перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$.

Для плоскостей $\alpha_1: 5x + 3y - 2z - 6 = 0$ и $\alpha_2: 2x + 3y - 2z - 4 = 0$

Векторы нормали к данным плоскостям: $\vec{n_1} = (5; 3; -2)$ и $\vec{n_2} = (2; 3; -2)$. Косинус угла $\phi$ между плоскостями найдем по формуле: $\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$. Скалярное произведение: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 5 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + (-2) \cdot (-2) = 10 + 9 + 4 = 23$. Модули векторов: $|\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38}$. $|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$. Косинус угла: $\cos \phi = \frac{|23|}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{17}} = \frac{23}{\sqrt{646}}$. Следовательно, угол $\phi$ между плоскостями равен $\arccos\left(\frac{23}{\sqrt{646}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{23}{\sqrt{646}}\right)$.

Для плоскостей $\alpha_1: x - 2y + z - 3 = 0$ и $\alpha_2: 3x + y - z + 1 = 0$

Векторы нормали к данным плоскостям: $\vec{n_1} = (1; -2; 1)$ и $\vec{n_2} = (3; 1; -1)$. Найдем скалярное произведение векторов нормали: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 3 - 2 - 1 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы нормали перпендикулярны, а значит, и сами плоскости перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$.

Для плоскостей $\alpha_1: x - 2y + z - 3 = 0$ и $\alpha_2: 2x - 4y + 2z + 7 = 0$

Векторы нормали к данным плоскостям: $\vec{n_1} = (1; -2; 1)$ и $\vec{n_2} = (2; -4; 2)$. Сравнивая координаты векторов, можно заметить, что $\vec{n_2} = 2\vec{n_1}$. Это означает, что векторы нормали коллинеарны, а следовательно, плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$ параллельны. Угол между параллельными плоскостями равен $0^\circ$. Проверим, не совпадают ли плоскости. Отношение коэффициентов при переменных равно $\frac{1}{2}$, а отношение свободных членов $\frac{-3}{7}$. Так как $\frac{1}{2} \neq \frac{-3}{7}$, плоскости не совпадают. Можно также вычислить угол по общей формуле: $\cos \phi = \frac{|1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-4) + 1 \cdot 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 8 + 2|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{24}} = \frac{12}{\sqrt{144}} = \frac{12}{12} = 1$. $\phi = \arccos(1) = 0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.