Номер 2.66, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.66. Напишите уравнение плоскости, параллельной данной плоскости $x - 2y + 2z - 5 = 0$ и отстоящей от нее на расстоянии, равном:

1) 2;

2) 4;

3) 5;

4) 8.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ является вектором нормали к этой плоскости.

Данная плоскость $P_1$ задана уравнением $x - 2y + 2z - 5 = 0$. Ее вектор нормали $\vec{n} = (1, -2, 2)$, а коэффициент $D_1 = -5$.

Искомая плоскость $P_2$ параллельна данной, следовательно, ее вектор нормали коллинеарен вектору нормали данной плоскости. Мы можем использовать тот же самый вектор нормали $\vec{n} = (1, -2, 2)$. Таким образом, уравнение искомой плоскости будет иметь вид $x - 2y + 2z + D_2 = 0$, где $D_2$ — неизвестный коэффициент.

Расстояние $d$ между двумя параллельными плоскостями $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ и $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ вычисляется по формуле: $d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае $A=1$, $B=-2$, $C=2$, $D_1=-5$. Подставим эти значения в формулу: $d = \frac{|D_2 - (-5)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|D_2 + 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|D_2 + 5|}{\sqrt{9}} = \frac{|D_2 + 5|}{3}$

Из этого соотношения мы можем найти $D_2$: $|D_2 + 5| = 3d$

Это уравнение распадается на два: $D_2 + 5 = 3d \implies D_2 = 3d - 5$ $D_2 + 5 = -3d \implies D_2 = -3d - 5$

Это означает, что для каждого значения расстояния $d$ существуют две параллельные плоскости, расположенные по разные стороны от исходной. Теперь найдем уравнения для каждого заданного расстояния.

1) Для расстояния $d=2$: $D_{2,1} = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1$ $D_{2,2} = -3 \cdot 2 - 5 = -6 - 5 = -11$ Следовательно, уравнения искомых плоскостей: $x - 2y + 2z + 1 = 0$ $x - 2y + 2z - 11 = 0$

Ответ: $x - 2y + 2z + 1 = 0$ и $x - 2y + 2z - 11 = 0$.

2) Для расстояния $d=4$: $D_{2,1} = 3 \cdot 4 - 5 = 12 - 5 = 7$ $D_{2,2} = -3 \cdot 4 - 5 = -12 - 5 = -17$ Следовательно, уравнения искомых плоскостей: $x - 2y + 2z + 7 = 0$ $x - 2y + 2z - 17 = 0$

Ответ: $x - 2y + 2z + 7 = 0$ и $x - 2y + 2z - 17 = 0$.

3) Для расстояния $d=5$: $D_{2,1} = 3 \cdot 5 - 5 = 15 - 5 = 10$ $D_{2,2} = -3 \cdot 5 - 5 = -15 - 5 = -20$ Следовательно, уравнения искомых плоскостей: $x - 2y + 2z + 10 = 0$ $x - 2y + 2z - 20 = 0$

Ответ: $x - 2y + 2z + 10 = 0$ и $x - 2y + 2z - 20 = 0$.

4) Для расстояния $d=8$: $D_{2,1} = 3 \cdot 8 - 5 = 24 - 5 = 19$ $D_{2,2} = -3 \cdot 8 - 5 = -24 - 5 = -29$ Следовательно, уравнения искомых плоскостей: $x - 2y + 2z + 19 = 0$ $x - 2y + 2z - 29 = 0$

Ответ: $x - 2y + 2z + 19 = 0$ и $x - 2y + 2z - 29 = 0$.