Номер 2.72, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.72. Даны координаты вершин треугольной пирамиды ABCD: $A(1; 8; -3)$, $B(3; 4; 1)$, $C(-1; 2; 3)$, $D(-3; -2; 5)$. Найдите: 1) $\cos \angle ABC$; 2) угол между прямой AD и гранью ABC; 3) угол между гранями ABC и ABD.

Даны координаты вершин пирамиды: $A(1; 8; -3)$, $B(3; 4; 1)$, $C(-1; 2; 3)$, $D(-3; -2; 5)$.

1) cos∠ABC

Косинус угла $\angle ABC$ можно найти как косинус угла между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Найдем координаты этих векторов: $\vec{BA} = (A_x - B_x; A_y - B_y; A_z - B_z) = (1 - 3; 8 - 4; -3 - 1) = (-2; 4; -4)$. $\vec{BC} = (C_x - B_x; C_y - B_y; C_z - B_z) = (-1 - 3; 2 - 4; 3 - 1) = (-4; -2; 2)$.

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: $\cos\angle ABC = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-2) \cdot (-4) + 4 \cdot (-2) + (-4) \cdot 2 = 8 - 8 - 8 = -8$.

Найдем длины (модули) векторов: $|\vec{BA}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$. $|\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Теперь вычислим косинус угла: $\cos\angle ABC = \frac{-8}{6 \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{-8}{12\sqrt{6}} = \frac{-2}{3\sqrt{6}} = -\frac{2\sqrt{6}}{3 \cdot 6} = -\frac{\sqrt{6}}{9}$.

Ответ: $\cos\angle ABC = -\frac{\sqrt{6}}{9}$.

2) угол между прямой AD и гранью АВС

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Он находится по формуле $\sin\phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$, где $\vec{s}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

Найдем направляющий вектор прямой $AD$: $\vec{s} = \vec{AD} = (D_x - A_x; D_y - A_y; D_z - A_z) = (-3 - 1; -2 - 8; 5 - (-3)) = (-4; -10; 8)$.

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ABC$ как векторное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$: $\vec{n} = \vec{BA} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 4 & -4 \\ -4 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(4 \cdot 2 - (-4) \cdot (-2)) - \vec{j}((-2) \cdot 2 - (-4) \cdot (-4)) + \vec{k}((-2) \cdot (-2) - 4 \cdot (-4)) = \vec{i}(8 - 8) - \vec{j}(-4 - 16) + \vec{k}(4 + 16) = 0\vec{i} + 20\vec{j} + 20\vec{k} = (0; 20; 20)$. Для удобства расчетов можно взять коллинеарный вектор, разделив координаты на 20: $\vec{n} = (0; 1; 1)$.

Найдем скалярное произведение $|\vec{s} \cdot \vec{n}|$: $|\vec{s} \cdot \vec{n}| = |(-4) \cdot 0 + (-10) \cdot 1 + 8 \cdot 1| = |0 - 10 + 8| = |-2| = 2$.

Найдем длины векторов: $|\vec{s}| = |\vec{AD}| = \sqrt{(-4)^2 + (-10)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 100 + 64} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$. $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Вычислим синус угла: $\sin\phi = \frac{2}{6\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{6\sqrt{10}} = \frac{1}{3\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{30}$.

Следовательно, угол $\phi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{10}}{30}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{10}}{30}\right)$.

3) угол между гранями АВС и ABD

Угол между двумя плоскостями (гранями) — это угол между их векторами нормали. Обозначим его $\theta$. Он вычисляется по формуле $\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$.

Вектор нормали к плоскости $ABC$ уже найден: $\vec{n_1} = (0; 1; 1)$. Его длина $|\vec{n_1}| = \sqrt{2}$.

Найдем вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $ABD$. Для этого найдем вектор $\vec{BD}$ и вычислим векторное произведение $\vec{BA} \times \vec{BD}$. Вектор $\vec{BA} = (-2; 4; -4)$. Вектор $\vec{BD} = (D_x - B_x; D_y - B_y; D_z - B_z) = (-3 - 3; -2 - 4; 5 - 1) = (-6; -6; 4)$.

$\vec{n_2} = \vec{BA} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 4 & -4 \\ -6 & -6 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(4 \cdot 4 - (-4) \cdot (-6)) - \vec{j}((-2) \cdot 4 - (-4) \cdot (-6)) + \vec{k}((-2) \cdot (-6) - 4 \cdot (-6)) = \vec{i}(16 - 24) - \vec{j}(-8 - 24) + \vec{k}(12 + 24) = -8\vec{i} + 32\vec{j} + 36\vec{k} = (-8; 32; 36)$. Для удобства разделим координаты на 4: $\vec{n_2} = (-2; 8; 9)$.

Найдем скалярное произведение $|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|$: $|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}| = |0 \cdot (-2) + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 9| = |0 + 8 + 9| = |17| = 17$.

Найдем длину вектора $\vec{n_2}$: $|\vec{n_2}| = \sqrt{(-2)^2 + 8^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 64 + 81} = \sqrt{149}$.

Вычислим косинус угла: $\cos\theta = \frac{17}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{149}} = \frac{17}{\sqrt{298}}$.

Следовательно, угол $\theta = \arccos\left(\frac{17}{\sqrt{298}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{17}{\sqrt{298}}\right)$.