Номер 3.2, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.2. Можно ли построить цилиндрическую поверхность (произвольную) с помощью листа бумаги? Считая, что прямоугольный лист является боковой поверхностью прямого кругового цилиндра, найдите радиус основания этого цилиндра. Сколько ответов имеет эта задача?

Можно ли построить цилиндрическую поверхность (произвольную) с помощью листа бумаги?

Да, можно. Лист бумаги — это модель части плоскости. Плоскость является развертываемой поверхностью, то есть ее можно изогнуть в пространстве без растяжений и сжатий, сохраняя все расстояния между точками. Цилиндрическая поверхность (с любой направляющей кривой) также является развертываемой. Это означает, что любую цилиндрическую поверхность можно «развернуть» на плоскость, и, наоборот, лист бумаги можно свернуть в боковую поверхность цилиндра. Таким образом, с помощью листа бумаги можно построить произвольную цилиндрическую поверхность, например, с круглым, эллиптическим или более сложным основанием.

Ответ: Да.

Считая, что прямоугольный лист является боковой поверхностью прямого кругового цилиндра, найдите радиус основания этого цилиндра.

Боковая поверхность прямого кругового цилиндра при развертке на плоскость представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая — длине окружности его основания $C$. Длина окружности связана с радиусом основания $r$ формулой $C = 2 \pi r$.

Пусть размеры прямоугольного листа бумаги равны $a$ и $b$. Существует два способа свернуть из него цилиндр:

1. Сторона листа длиной $a$ становится окружностью основания. В этом случае длина окружности $C = a$, а высота цилиндра $h = b$. Радиус основания $r_1$ можно найти из соотношения: $a = 2 \pi r_1$, откуда $r_1 = \frac{a}{2 \pi}$.

2. Сторона листа длиной $b$ становится окружностью основания. В этом случае длина окружности $C = b$, а высота цилиндра $h = a$. Радиус основания $r_2$ будет равен: $b = 2 \pi r_2$, откуда $r_2 = \frac{b}{2 \pi}$.

Следовательно, радиус основания цилиндра зависит от того, какая из сторон прямоугольника используется для формирования окружности основания.

Ответ: Если стороны прямоугольного листа равны $a$ и $b$, то радиус основания цилиндра может быть равен $r = \frac{a}{2 \pi}$ (при высоте цилиндра $h=b$) или $r = \frac{b}{2 \pi}$ (при высоте $h=a$).

Сколько ответов имеет эта задача?

Как показано в решении предыдущего вопроса, для прямоугольного листа со сторонами $a$ и $b$ существуют два возможных значения радиуса основания, в зависимости от способа сворачивания листа.

1. Если лист не является квадратом, то его стороны имеют разную длину ($a \neq b$). В этом случае мы получим два различных значения для радиуса: $r_1 = \frac{a}{2 \pi}$ и $r_2 = \frac{b}{2 \pi}$. Таким образом, задача имеет два разных ответа.

2. Если лист является квадратом ($a = b$), то оба способа сворачивания приведут к цилиндрам с одинаковым радиусом основания: $r_1 = r_2 = \frac{a}{2 \pi}$. В этом частном случае задача имеет только один ответ.

Поскольку в общем случае прямоугольник не является квадратом, задача имеет два возможных ответа.

Ответ: В общем случае задача имеет два ответа. В частном случае, когда лист бумаги квадратный, ответ один.