Номер 2.73, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.73. Напишите уравнение плоскости, проходящей через ось $\text{Oy}$ и образующей с плоскостью $x - y = 0$ угол, равный $60^\circ$.

Уравнение любой плоскости, проходящей через ось $Oy$, можно записать в виде $Ax + Cz = 0$. Это следует из того, что для любой точки $(x, y, z)$ на такой плоскости ее нормальный вектор $\vec{n} = (A, 0, C)$ должен быть перпендикулярен вектору, соединяющему начало координат с любой точкой на плоскости, не лежащей на оси $Oy$. Более формально, плоскость, проходящая через ось $Oy$, является частью пучка плоскостей, проходящих через эту ось. Ось $Oy$ является линией пересечения плоскостей $x=0$ и $z=0$, поэтому уравнение пучка имеет вид $\lambda x + \mu z = 0$. При условии, что $\lambda \neq 0$, можно записать уравнение в виде $x + \frac{\mu}{\lambda}z = 0$, что соответствует общему виду $Ax + Cz = 0$.

Итак, будем искать уравнение искомой плоскости $\Pi$ в виде $Ax + Cz = 0$. Нормальный вектор этой плоскости: $\vec{n} = (A, 0, C)$.

Заданная плоскость $\Pi_1$ имеет уравнение $x - y = 0$. Ее нормальный вектор: $\vec{n_1} = (1, -1, 0)$.

Угол $\varphi$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус этого угла вычисляется по формуле: $cos(\varphi) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n_1}|}{||\vec{n}|| \cdot ||\vec{n_1}||}$

По условию задачи, угол $\varphi = 60^\circ$, следовательно, $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n}$ и $\vec{n_1}$: $\vec{n} \cdot \vec{n_1} = A \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + C \cdot 0 = A$.

Вычислим модули (длины) векторов: $||\vec{n}|| = \sqrt{A^2 + 0^2 + C^2} = \sqrt{A^2 + C^2}$. $||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла: $\frac{1}{2} = \frac{|A|}{\sqrt{A^2 + C^2} \cdot \sqrt{2}}$

Чтобы решить это уравнение относительно $A$ и $C$, возведем обе части в квадрат: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{A^2}{(\sqrt{A^2 + C^2} \cdot \sqrt{2})^2}$ $\frac{1}{4} = \frac{A^2}{2(A^2 + C^2)}$

Упростим полученное равенство: $2(A^2 + C^2) = 4A^2$ $2A^2 + 2C^2 = 4A^2$ $2C^2 = 2A^2$ $C^2 = A^2$

Это равенство выполняется в двух случаях: $C = A$ или $C = -A$.

Поскольку уравнение плоскости не меняется при умножении на ненулевое число, мы можем выбрать произвольное ненулевое значение для $A$, например $A=1$.

1. Если $C = A = 1$, уравнение плоскости принимает вид: $1 \cdot x + 1 \cdot z = 0$, то есть $x + z = 0$.

2. Если $C = -A = -1$, уравнение плоскости принимает вид: $1 \cdot x - 1 \cdot z = 0$, то есть $x - z = 0$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две плоскости.

Ответ: $x + z = 0$ и $x - z = 0$.