Номер 2.69, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.69. Найдите угол между прямой $ \begin{cases} x+3y-4z+1 = 0, \\ 2x-y+z-3 = 0 \end{cases} $ и ее проекцией на плоскость $2x+2y-3z-1 = 0.$

Угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость по определению равен углу между самой прямой и этой плоскостью. Обозначим искомый угол через $\phi$. Для его нахождения нам потребуется найти направляющий вектор данной прямой и вектор нормали к данной плоскости.

Заданная прямая $L$ является линией пересечения двух плоскостей:

$$ \begin{cases} x + 3y - 4z + 1 = 0 \\ 2x - y + z - 3 = 0 \end{cases} $$

Плоскость проекции $P$ задана уравнением $2x + 2y - 3z - 1 = 0$.

1. Нахождение направляющего вектора прямой

Направляющий вектор $\vec{d}$ прямой $L$ перпендикулярен нормальным векторам $\vec{n_1} = (1, 3, -4)$ и $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$ задающих ее плоскостей. Следовательно, его можно найти как их векторное произведение:

$$ \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} $$ $$ \vec{d} = \vec{i}(3 \cdot 1 - (-4) \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-4) \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 3 \cdot 2) $$ $$ \vec{d} = \vec{i}(3 - 4) - \vec{j}(1 + 8) + \vec{k}(-1 - 6) = -1\vec{i} - 9\vec{j} - 7\vec{k} $$

Таким образом, направляющий вектор прямой $\vec{d} = (-1, -9, -7)$. Для удобства дальнейших вычислений можно использовать коллинеарный ему вектор, умножив на $-1$: $\vec{d} = (1, 9, 7)$.

2. Нахождение вектора нормали плоскости

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости проекции $P$, заданной уравнением $2x + 2y - 3z - 1 = 0$, определяется коэффициентами при переменных: $\vec{n} = (2, 2, -3)$.

3. Вычисление угла

Угол $\phi$ между прямой с направляющим вектором $\vec{d}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ вычисляется по формуле для синуса угла между прямой и плоскостью:

$$ \sin\phi = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{||\vec{d}|| \cdot ||\vec{n}||} $$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{d}$ и $\vec{n}$:

$$ \vec{d} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + 9 \cdot 2 + 7 \cdot (-3) = 2 + 18 - 21 = -1 $$

Вычислим модули (длины) векторов:

$$ ||\vec{d}|| = \sqrt{1^2 + 9^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 81 + 49} = \sqrt{131} $$ $$ ||\vec{n}|| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17} $$

Подставим полученные значения в формулу для синуса угла:

$$ \sin\phi = \frac{|-1|}{\sqrt{131} \cdot \sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{2227}} $$

Следовательно, искомый угол равен:

$$ \phi = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2227}}\right) $$

Ответ: $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2227}}\right)$.