Номер 2.76, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.76. Найдите косинусы углов между прямой $x=2+t$, $y=15+2t$, $z=2t-5$ и осями координат. Эти косинусы называются направляющими косинусами данной прямой. Итак, если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ – указанные углы, то $\cos\alpha=\frac{1}{3}$, $\cos\beta=\frac{2}{3}$, $\cos\gamma=\frac{2}{3}$. Здесь $\vec{p}(1; 2; 2)$ – направляющий вектор данной прямой и $|\vec{p}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$. Следовательно, $|\vec{p}| (\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$ – единичный направляющий вектор данной прямой. В общем случае найдите направляющие косинусы прямой $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{k}$. Используя полученные результаты, найдите направляющие косинусы прямых, заданных в задаче 2.61.

2.61. Найдите угол между прямыми:

1) $\frac{x-3}{8}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{3}$ и $x=2-t, y=15+2t, z=3t-5$;

2) $\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z}{3}$ и $x=7+5t, y=4+t, z=5+4t$.

Направляющие косинусы прямой — это косинусы углов $\alpha, \beta, \gamma$, которые направляющий вектор прямой $\vec{s}=(m; n; k)$ образует с осями координат Ox, Oy и Oz соответственно.

Для прямой, заданной каноническим уравнением $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{k}$ или параметрически $x = x_0 + mt, y = y_0 + nt, z = z_0 + kt$, направляющий вектор имеет координаты $\vec{s}=(m; n; k)$.

Направляющие косинусы вычисляются по формулам:

$\cos\alpha = \frac{m}{|\vec{s}|} = \frac{m}{\sqrt{m^2 + n^2 + k^2}}$

$\cos\beta = \frac{n}{|\vec{s}|} = \frac{n}{\sqrt{m^2 + n^2 + k^2}}$

$\cos\gamma = \frac{k}{|\vec{s}|} = \frac{k}{\sqrt{m^2 + n^2 + k^2}}$

Найдем направляющие косинусы для прямых из задачи 2.61.

1) Для первой прямой $\frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3}$ направляющий вектор $\vec{s_1} = (8; 2; 3)$.

Модуль этого вектора: $|\vec{s_1}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 4 + 9} = \sqrt{77}$.

Направляющие косинусы первой прямой:

$\cos\alpha_1 = \frac{8}{\sqrt{77}}$,

$\cos\beta_1 = \frac{2}{\sqrt{77}}$,

$\cos\gamma_1 = \frac{3}{\sqrt{77}}$.

Для второй прямой $x = 2 - t, y = 15 + 2t, z = 3t - 5$ направляющий вектор (коэффициенты при $t$) равен $\vec{s_2} = (-1; 2; 3)$.

Модуль этого вектора: $|\vec{s_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Направляющие косинусы второй прямой:

$\cos\alpha_2 = \frac{-1}{\sqrt{14}}$,

$\cos\beta_2 = \frac{2}{\sqrt{14}}$,

$\cos\gamma_2 = \frac{3}{\sqrt{14}}$.

Ответ: для прямой $\frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3}$ направляющие косинусы: $\frac{8}{\sqrt{77}}, \frac{2}{\sqrt{77}}, \frac{3}{\sqrt{77}}$; для прямой $x=2-t, y=15+2t, z=3t-5$ направляющие косинусы: $\frac{-1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$.

2) Для первой прямой $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z}{3}$ направляющий вектор $\vec{s_1} = (2; 4; 3)$.

Модуль этого вектора: $|\vec{s_1}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$.

Направляющие косинусы первой прямой:

$\cos\alpha_1 = \frac{2}{\sqrt{29}}$,

$\cos\beta_1 = \frac{4}{\sqrt{29}}$,

$\cos\gamma_1 = \frac{3}{\sqrt{29}}$.

Для второй прямой $x = 7 + 5t, y = 4 + t, z = 5 + 4t$ направляющий вектор равен $\vec{s_2} = (5; 1; 4)$.

Модуль этого вектора: $|\vec{s_2}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42}$.

Направляющие косинусы второй прямой:

$\cos\alpha_2 = \frac{5}{\sqrt{42}}$,

$\cos\beta_2 = \frac{1}{\sqrt{42}}$,

$\cos\gamma_2 = \frac{4}{\sqrt{42}}$.

Ответ: для прямой $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z}{3}$ направляющие косинусы: $\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}, \frac{3}{\sqrt{29}}$; для прямой $x = 7 + 5t, y = 4 + t, z = 5 + 4t$ направляющие косинусы: $\frac{5}{\sqrt{42}}, \frac{1}{\sqrt{42}}, \frac{4}{\sqrt{42}}$.