Номер 2.74, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.74*. Напишите уравнение плоскости, делящей пополам двугранный угол, образованный плоскостями $2x + 2y - z = 0$ и $Oxy$.

Для решения задачи найдем геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных плоскостей.

Первая плоскость задана уравнением $\pi_1: 2x + 2y - z = 0$.

Вторая плоскость — это координатная плоскость $Oxy$, ее уравнение $\pi_2: z = 0$.

Расстояние от произвольной точки $M(x, y, z)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вычисляется по формуле: $d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Найдем расстояние от точки $M(x, y, z)$ до каждой из плоскостей.

Расстояние до плоскости $\pi_1$: $d_1 = \frac{|2x + 2y - z|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2x + 2y - z|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|2x + 2y - z|}{3}$

Расстояние до плоскости $\pi_2$: $d_2 = \frac{|z|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = |z|$

Искомая плоскость (или плоскости) состоит из всех точек $M$, для которых $d_1 = d_2$. Приравняем выражения для расстояний: $\frac{|2x + 2y - z|}{3} = |z|$

Это уравнение с модулями эквивалентно двум уравнениям, которые и будут уравнениями двух биссекторных плоскостей (делящих пополам смежные двугранные углы).

Случай 1: $\frac{2x + 2y - z}{3} = z$ $2x + 2y - z = 3z$ $2x + 2y - 4z = 0$ Разделим обе части уравнения на 2: $x + y - 2z = 0$

Случай 2: $\frac{2x + 2y - z}{3} = -z$ $2x + 2y - z = -3z$ $2x + 2y + 2z = 0$ Разделим обе части уравнения на 2: $x + y + z = 0$

Таким образом, существуют две плоскости, делящие пополам двугранные углы, образованные исходными плоскостями.

Ответ: $x + y - 2z = 0$ и $x + y + z = 0$.