Номер 3.4, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.4. По развертке определите вид цилиндра (рис. 3.9). Определите площадь полной поверхности.

Рис. 3.9

На изображении представлены развертки двух разных цилиндров. Решим задачу для каждого из них.

Решение для первого цилиндра (рисунок слева)

Развертка состоит из двух одинаковых кругов (оснований цилиндра) и прямоугольника (боковой поверхности). Это развертка прямого кругового цилиндра.

Из рисунка видно, что высота цилиндра $h$ (одна из сторон прямоугольника) равна 10. $h = 10$.

Радиус основания $r$ (указан на одном из кругов) равен 12. $r = 12$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

Формула для площади полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.

$S_{осн} = \pi \cdot (12)^2 = 144\pi$.

Площадь боковой поверхности (прямоугольника) равна произведению высоты цилиндра $h$ на длину окружности основания $C = 2\pi r$.

$S_{бок} = h \cdot (2\pi r) = 10 \cdot (2 \cdot \pi \cdot 12) = 240\pi$.

Теперь найдем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot 144\pi + 240\pi = 288\pi + 240\pi = 528\pi$.

Таким образом, это прямой круговой цилиндр с высотой 10 и радиусом основания 12.

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна $528\pi$ квадратных единиц.

Решение для второго цилиндра (рисунок справа)

Эта развертка также соответствует прямому круговому цилиндру.

Из рисунка видно, что высота цилиндра $h$ (обозначена как $l$) равна 4 см. $h = l = 4$ см.

Радиус основания $r$ (обозначен как $R$) равен 1 см. $r = R = 1$ см.

Используем ту же формулу для площади полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Вычислим площадь основания:

$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot (1)^2 = \pi$ см$^2$.

Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = h \cdot (2\pi r) = 4 \cdot (2 \cdot \pi \cdot 1) = 8\pi$ см$^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot \pi + 8\pi = 10\pi$ см$^2$.

Таким образом, это прямой круговой цилиндр с высотой 4 см и радиусом основания 1 см.

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна $10\pi$ см$^2$.