Номер 3.8, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.8. Осевое сечение цилиндра есть квадрат площадью $\text{S}$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если:

а) $S = 16 \text{ см}^2$;

б) $S = 121 \text{ м}^2$;

в) $S = 441 \text{ мм}^2$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$. По условию задачи, это сечение является квадратом, значит, его стороны равны: $h = d$.

Площадь этого квадрата $S = h \cdot d = h \cdot h = h^2$. Отсюда можно найти высоту цилиндра: $h = \sqrt{S}$.

Так как $h=d$, то и диаметр основания $d = \sqrt{S}$. Радиус основания $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{S}}{2}$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок} = 2\pi rh$) и двух площадей оснований ($2S_{осн} = 2\pi r^2$).

Формула площади полной поверхности: $S_{полн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$.

Теперь решим задачу для каждого из данных значений $S$.

а) Дано: площадь осевого сечения $S = 16 \text{ см}^2$.

Найдем высоту и диаметр цилиндра. Так как осевое сечение — квадрат, то $h = d = \sqrt{S} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Радиус основания цилиндра: $r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$.

Теперь вычислим площадь полной поверхности цилиндра, используя значения $h=4$ см и $r=2$ см:

$S_{полн} = 2\pi r(h+r) = 2\pi \cdot 2 \cdot (4+2) = 4\pi \cdot 6 = 24\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $24\pi \text{ см}^2$.

б) Дано: площадь осевого сечения $S = 121 \text{ м}^2$.

Найдем высоту и диаметр цилиндра: $h = d = \sqrt{S} = \sqrt{121} = 11 \text{ м}$.

Радиус основания цилиндра: $r = \frac{d}{2} = \frac{11}{2} = 5.5 \text{ м}$.

Вычислим площадь полной поверхности цилиндра, используя значения $h=11$ м и $r=5.5$ м:

$S_{полн} = 2\pi r(h+r) = 2\pi \cdot 5.5 \cdot (11+5.5) = 11\pi \cdot 16.5 = 181.5\pi \text{ м}^2$.

Ответ: $181.5\pi \text{ м}^2$.

в) Дано: площадь осевого сечения $S = 441 \text{ мм}^2$.

Найдем высоту и диаметр цилиндра: $h = d = \sqrt{S} = \sqrt{441} = 21 \text{ мм}$.

Радиус основания цилиндра: $r = \frac{d}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \text{ мм}$.

Вычислим площадь полной поверхности цилиндра, используя значения $h=21$ мм и $r=10.5$ мм:

$S_{полн} = 2\pi r(h+r) = 2\pi \cdot 10.5 \cdot (21+10.5) = 21\pi \cdot 31.5 = 661.5\pi \text{ мм}^2$.

Ответ: $661.5\pi \text{ мм}^2$.