Номер 3.14, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.14. В цилиндр вписан куб с ребром 4 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Пусть ребро куба равно $a$. По условию, $a = 4$ см.

Так как куб вписан в цилиндр, высота цилиндра $h$ равна ребру куба. Следовательно, $h = a = 4$ см.

Основание куба — это квадрат со стороной $a$. Этот квадрат вписан в окружность, которая является основанием цилиндра. Диаметр $D$ этой окружности равен диагонали квадрата-основания куба.

Найдем диагональ $d$ квадрата со стороной $a=4$ см по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Подставив значение $a$, получаем: $d = 4\sqrt{2}$ см.

Диаметр основания цилиндра $D$ равен диагонали квадрата $d$, то есть $D = 4\sqrt{2}$ см. Радиус основания цилиндра $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{D}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности. $S_{осн} = \pi r^2$ $S_{бок} = 2\pi rh$ $S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)$.

Подставим найденные значения $r = 2\sqrt{2}$ см и $h = 4$ см в формулу: $S_{полн} = 2\pi (2\sqrt{2})(2\sqrt{2} + 4)$ $S_{полн} = 4\pi\sqrt{2}(2\sqrt{2} + 4)$ Раскроем скобки: $S_{полн} = 4\pi\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + 4\pi\sqrt{2} \cdot 4$ $S_{полн} = 8\pi(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) + 16\pi\sqrt{2}$ $S_{полн} = 8\pi \cdot 2 + 16\pi\sqrt{2}$ $S_{полн} = 16\pi + 16\pi\sqrt{2}$ Вынесем общий множитель $16\pi$ за скобки: $S_{полн} = 16\pi(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $16\pi(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.