Номер 3.18, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.18. Высота цилиндра равна 12 см, а радиус – 10 см. Сечение цилиндра, параллельное оси цилиндра, является квадратом. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

По условию задачи, высота цилиндра $H = 12$ см, а радиус его основания $R = 10$ см.

Сечение цилиндра, параллельное его оси, представляет собой прямоугольник. Две стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра, а две другие стороны являются хордами, лежащими в плоскостях оснований цилиндра.

В задаче сказано, что данное сечение является квадратом. Это означает, что все его стороны равны. Следовательно, длина хорды в основании цилиндра также равна высоте цилиндра. Обозначим длину этой хорды как $a$.

$a = H = 12$ см.

Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно расстоянию от центра основания цилиндра до хорды, которая является стороной квадрата в этом основании. Обозначим это искомое расстояние как $d$.

Рассмотрим одно из оснований цилиндра. Это круг с центром $O$ и радиусом $R = 10$ см. В этом круге проведена хорда $AB$ длиной $a = 12$ см. Расстояние $d$ от центра $O$ до хорды $AB$ — это длина перпендикуляра $OM$, опущенного из точки $O$ на хорду $AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Он является равнобедренным, так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности, и, следовательно, $OA = OB = R = 10$ см. В равнобедренном треугольнике высота $OM$, проведенная к основанию, является также и медианой. Значит, точка $M$ делит хорду $AB$ пополам.

$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. Его гипотенуза $OA = R = 10$ см, а один из катетов $AM = 6$ см. Второй катет $OM$ — это искомое расстояние $d$. Применим теорему Пифагора:

$OA^2 = AM^2 + OM^2$

Отсюда, $OM^2 = OA^2 - AM^2$. Подставим числовые значения:

$d^2 = 10^2 - 6^2$

$d^2 = 100 - 36$

$d^2 = 64$

$d = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.