Номер 3.25, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.25. Высота цилиндра на 6 см больше радиуса основания, а площадь его полной поверхности равна 112 см². Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота в сантиметрах.

Согласно условию задачи, высота на 6 см больше радиуса, что можно записать как:

$h = r + 6$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле, которая складывается из площади двух оснований ($2 \cdot \pi r^2$) и площади боковой поверхности ($2\pi rh$):

$S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$

По условию, $S_{полн} = 112\pi$ см². Подставим известные данные в формулу:

$112\pi = 2\pi r(r + h)$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $h$ из первого условия ($h = r + 6$):

$112\pi = 2\pi r(r + (r + 6))$

$112\pi = 2\pi r(2r + 6)$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$ для упрощения:

$56 = r(2r + 6)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$56 = 2r^2 + 6r$

$2r^2 + 6r - 56 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$r^2 + 3r - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$

Найдем корни уравнения:

$r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Так как радиус основания является геометрической величиной, он не может быть отрицательным. Поэтому мы выбираем корень $r_1 = 4$.

Радиус основания цилиндра равен 4 см.

Теперь найдем высоту цилиндра, используя соотношение $h = r + 6$:

$h = 4 + 6 = 10$ см.

Ответ: радиус основания равен 4 см, высота цилиндра равна 10 см.