Номер 3.28, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.28. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму высотой $\text{h}$ и стороной основания $\text{a}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r H$, где $r$ – радиус основания цилиндра, а $H$ – его высота.

Так как цилиндр вписан в правильную треугольную призму, его высота $H$ равна высоте призмы $h$. Основания цилиндра (круги) вписаны в основания призмы (правильные треугольники).

Следовательно, нам нужно найти радиус $r$ круга, вписанного в правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$.

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности можно найти по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, можно записать эту формулу как:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Теперь, зная радиус $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ и высоту $H = h$, мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра, подставив эти значения в исходную формулу:

$S_{бок} = 2 \pi r H = 2 \pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot h$

Сократим выражение:

$S_{бок} = \frac{2 \pi a h \sqrt{3}}{6} = \frac{\pi a h \sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\pi a h \sqrt{3}}{3}$