Номер 3.33, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

3.33. Две трубы длиной 5 см и диаметром 3 см соединены друг с другом так, как показано на рис. 3.14, под прямым углом. Найдите площадь боковой поверхности полученной фигуры.

Если эту фигуру разрезать по линии сварки и приварить заново так, как показано на рисунке, то получим трубу длиной 7 см и задача решается просто.

Дано: цилиндр, $R = 1,5$ см, $h = 7$ см.

Найти$S_{\text{бок}}$.

Решение: $S_{\text{бок}} = 2\pi Rh = 2\pi \cdot 1,5 \cdot 7 = 21\pi$ см$^2$.

Дано:

Две цилиндрические трубы, соединенные под прямым углом.

Длина каждой трубы: $L = 5$ см.

Диаметр каждой трубы: $d = 3$ см.

Из диаметра находим радиус: $R = d/2 = 3/2 = 1.5$ см.

Судя по рисунку, вертикальная труба разделена местом соединения на две части: верхнюю (длиной $5-2=3$ см) и нижнюю (длиной $h_1 = 2$ см). Длина присоединенной горизонтальной трубы составляет $h_2 = 5$ см.

Найти:

Площадь боковой поверхности полученной фигуры $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности полученной фигуры можно найти, представив ее как сумму площадей боковых поверхностей ее частей. Прямой расчет площади в месте соединения сложен из-за криволинейного шва.

Однако можно использовать принцип, подсказанный в условии задачи. Если мысленно "разрезать" фигуру по линии сварки, то общая площадь поверхности не изменится. Полученная фигура состоит из боковой поверхности нижней части вертикальной трубы и полной боковой поверхности горизонтальной трубы. Часть боковой поверхности вертикальной трубы, где происходит соединение, заменяется боковой поверхностью вставляемой горизонтальной трубы.

Таким образом, общая площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых поверхностей цилиндра высотой $h_1=2$ см и цилиндра длиной $h_2=5$ см. Это эквивалентно нахождению площади боковой поверхности одного цилиндра с тем же радиусом и эффективной высотой $h_{эфф} = h_1 + h_2$.

$h_{эфф} = 2 \text{ см} + 5 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности этого эквивалентного цилиндра по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi R h_{эфф}$

Подставим известные значения:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 1.5 \cdot 7$

$S_{бок} = 3\pi \cdot 7$

$S_{бок} = 21\pi \text{ см}^2$

Ответ: $21\pi \text{ см}^2$.