Номер 3.38, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.38*. Докажите, что сумма двугранных углов при противоположных ребрах четырехугольной призмы, вписанной в цилиндр, равна $180^\circ$.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольную призму, вписанную в цилиндр. По определению, призма вписана в цилиндр, если ее вершины лежат на поверхности цилиндра. Это означает, что боковые ребра призмы являются образующими цилиндра, то есть параллельны его оси. Будем считать, что цилиндр является прямым круговым, что является стандартным предположением в таких задачах.

Пусть дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, боковые ребра которой — $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$. Требуется доказать, что сумма двугранных углов при противоположных боковых ребрах, например при $BB_1$ и $DD_1$, равна $180^\circ$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Линейный угол двугранного угла при боковом ребре призмы — это угол, который образуется в плоскости, перпендикулярной этому ребру.

Проведем плоскость $\Pi$, перпендикулярную боковым ребрам призмы (а значит, и оси цилиндра). Эта плоскость пересекает боковые ребра в точках, которые мы обозначим $P, Q, R, S$ (точка $P$ на ребре $AA_1$, $Q$ на $BB_1$, $R$ на $CC_1$ и $S$ на $DD_1$). Полученный четырехугольник $PQRS$ является перпендикулярным сечением призмы.

По определению линейного угла, линейным углом двугранного угла при ребре $BB_1$ является угол $\angle PQR$. Соответственно, линейным углом двугранного угла при ребре $DD_1$ является угол $\angle PSR$. Наша задача сводится к доказательству того, что $\angle PQR + \angle PSR = 180^\circ$.

Рассмотрим пересечение плоскости $\Pi$ с цилиндром. Так как плоскость $\Pi$ перпендикулярна оси прямого кругового цилиндра, их пересечением является окружность. Обозначим эту окружность $\omega$.

Теперь покажем, что вершины четырехугольника $PQRS$ лежат на этой окружности $\omega$. Точка $Q$ по построению лежит на боковом ребре $BB_1$. Ребро $BB_1$ является образующей цилиндра, поэтому все его точки лежат на боковой поверхности цилиндра. Точка $Q$ также лежит в плоскости $\Pi$ по построению. Следовательно, точка $Q$ принадлежит пересечению поверхности цилиндра и плоскости $\Pi$, то есть лежит на окружности $\omega$. Аналогично доказывается, что точки $P, R$ и $S$ также лежат на окружности $\omega$.

Таким образом, четырехугольник $PQRS$ вписан в окружность $\omega$. Такой четырехугольник называется вписанным, или циклическим.

Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Для четырехугольника $PQRS$ это означает:

$\angle PQR + \angle PSR = 180^\circ$

Поскольку $\angle PQR$ и $\angle PSR$ являются линейными углами, измеряющими величины двугранных углов при противоположных ребрах $BB_1$ и $DD_1$ соответственно, мы доказали, что их сумма равна $180^\circ$.

Аналогичное утверждение верно и для другой пары противоположных ребер ($AA_1$ и $CC_1$), так как для вписанного четырехугольника $PQRS$ также выполняется равенство $\angle QPS + \angle QRS = 180^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, приведенное в задаче, доказано.