Номер 3.31, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.31. Можно ли определить площадь боковой поверхности цилиндра по заданной площади его осевого сечения? Обоснуйте ответ.

Да, можно определить площадь боковой поверхности цилиндра по заданной площади его осевого сечения. Обоснуем этот ответ.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле, представляющей собой площадь развертки боковой поверхности (прямоугольника) со сторонами, равными длине окружности основания и высоте цилиндра:

$S_{бок} = 2\pi R H$

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, который проходит через ось цилиндра. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D = 2R$.

Площадь осевого сечения ($S_{сеч}$) вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = D \cdot H = 2R \cdot H$

Теперь сравним формулы для площади боковой поверхности и площади осевого сечения. Выразим произведение $2RH$ из формулы для площади осевого сечения:

$2RH = S_{сеч}$

Подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot (2RH) = \pi \cdot S_{сеч}$

Из полученного соотношения $S_{бок} = \pi S_{сеч}$ видно, что площадь боковой поверхности цилиндра прямо пропорциональна площади его осевого сечения. Коэффициентом пропорциональности является число $\pi$.

Таким образом, зная площадь осевого сечения, можно однозначно найти площадь боковой поверхности, умножив известную площадь на число $\pi$. При этом не требуется знать значения радиуса и высоты по отдельности, так как площадь боковой поверхности зависит от их произведения $RH$, которое однозначно определяется через площадь осевого сечения.

Ответ: Да, можно. Площадь боковой поверхности цилиндра в $\pi$ раз больше площади его осевого сечения.