Номер 3.24, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.24. Правильная шестиугольная призма: 1) вписана в цилиндр; 2) описана около него. Найдите отношение площадей боковых поверхностей цилиндра и призмы.

1) Обозначим высоту цилиндра и призмы как $H$, радиус основания цилиндра как $R$, а сторону правильного шестиугольника в основании призмы как $a$. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{цил} = 2 \pi R H$. Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания на высоту: $S_{призмы} = P_{осн} \cdot H = 6aH$. Искомое отношение площадей: $\frac{S_{цил}}{S_{призмы}} = \frac{2 \pi R H}{6aH} = \frac{\pi R}{3a}$. Когда призма вписана в цилиндр, ее основание (правильный шестиугольник) вписано в основание цилиндра (окружность). Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона равна радиусу описанной окружности, то есть $a = R$. Подставим это соотношение в формулу для отношения площадей: $\frac{S_{цил}}{S_{призмы}} = \frac{\pi R}{3R} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

2) Используем те же обозначения и формулы для площадей, что и в первом пункте. Отношение площадей равно $\frac{S_{цил}}{S_{призмы}} = \frac{\pi R}{3a}$. Когда призма описана около цилиндра, ее основание (правильный шестиугольник) описано около основания цилиндра (окружности). Это означает, что окружность вписана в шестиугольник. Радиус такой вписанной окружности $R$ является апофемой правильного шестиугольника. Связь между стороной правильного шестиугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $R$ выражается формулой: $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Отсюда выразим сторону $a$ через радиус $R$: $a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$. Подставим это выражение в формулу для отношения площадей: $\frac{S_{цил}}{S_{призмы}} = \frac{\pi R}{3a} = \frac{\pi R}{3 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}}} = \frac{\pi R \sqrt{3}}{6R} = \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi \sqrt{3}}{6}$