Номер 3.23, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.23. Высота цилиндра равна 6 см, а радиус – 5 см. Найдите площадь сечения, параллельного оси цилиндра и удаленной от нее на 3 см.

По условию задачи, высота цилиндра $h = 6$ см, а радиус его основания $R = 5$ см. Сечение проведено параллельно оси цилиндра на расстоянии $d = 3$ см от нее.

Сечение, которое параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая сторона, назовем ее $a$, является хордой в круге, лежащем в основании цилиндра.

Для нахождения длины хорды $a$ рассмотрим поперечное сечение цилиндра, которое является кругом с радиусом $R=5$ см. В этом круге проведена хорда $a$. Расстояние от центра круга (то есть от оси цилиндра) до этой хорды равно $d=3$ см. Радиус, проведенный к одному из концов хорды, расстояние от центра до хорды и половина хорды ($\frac{a}{2}$) образуют прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике:

• гипотенуза равна радиусу $R = 5$ см;
• один катет равен расстоянию от оси до сечения $d = 3$ см;
• второй катет равен половине длины хорды, то есть $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения в формулу: $5^2 = 3^2 + (\frac{a}{2})^2$ $25 = 9 + (\frac{a}{2})^2$

Найдем квадрат половины хорды: $(\frac{a}{2})^2 = 25 - 9$ $(\frac{a}{2})^2 = 16$

Отсюда, половина хорды равна: $\frac{a}{2} = \sqrt{16} = 4$ см

Следовательно, вся длина хорды $a$ равна: $a = 2 \cdot 4 = 8$ см

Теперь мы можем найти площадь сечения $S$. Так как сечение является прямоугольником со сторонами $a$ и $h$, его площадь вычисляется по формуле: $S = a \cdot h$ $S = 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$

Ответ: 48 см².