Номер 3.16, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.16. Сколько:

а) центров симметрии;

б) осей симметрии;

в) плоскостей симметрии имеет цилиндр?

Необходимо ли, чтобы все плоскости симметрии проходили через ось цилиндра? Обоснуйте ответ.

а) Центр симметрии геометрической фигуры — это точка, относительно которой фигура является центрально-симметричной. Для прямого кругового цилиндра конечной высоты такая точка существует, и она единственна. Это середина отрезка, соединяющего центры его оснований. Если поместить начало координат в эту точку, то для любой точки цилиндра $M(x, y, z)$ точка $M'(-x, -y, -z)$, симметричная ей относительно начала координат, также будет принадлежать цилиндру. Любая другая точка не может быть центром симметрии, так как при симметрии относительно нее, например, центры оснований перешли бы в точки, не являющиеся центрами оснований, нарушая симметрию всей фигуры.

Ответ: 1.

б) Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (отличный от кратного $360^{\circ}$) фигура совмещается сама с собой. У цилиндра существуют следующие оси симметрии:

1. Ось самого цилиндра (прямая, проходящая через центры оснований). Поворот вокруг нее на любой угол переводит цилиндр в себя.

2. Любая прямая, проходящая через центр симметрии цилиндра (середину его оси) и перпендикулярная оси цилиндра. Поворот вокруг любой такой прямой на угол $180^{\circ}$ также совмещает цилиндр с самим собой. Поскольку в плоскости, перпендикулярной оси, через центр симметрии можно провести бесконечно много таких прямых, то и количество таких осей симметрии бесконечно.

Следовательно, общее число осей симметрии у цилиндра бесконечно.

Ответ: бесконечно много.

в) Плоскость симметрии — это плоскость, при зеркальном отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. У цилиндра есть два вида плоскостей симметрии:

1. Любая плоскость, проходящая через ось цилиндра. Таких плоскостей бесконечно много. Отражение относительно любой такой плоскости оставляет цилиндр на месте.

2. Одна плоскость, которая перпендикулярна оси цилиндра и проходит через его центр симметрии (т.е. делит высоту цилиндра пополам). Отражение относительно этой плоскости меняет местами верхнюю и нижнюю половины цилиндра.

Таким образом, цилиндр имеет бесконечное множество плоскостей симметрии.

На вопрос, необходимо ли, чтобы все плоскости симметрии проходили через ось цилиндра, следует дать отрицательный ответ.

Обоснование: как указано в пункте 2 выше, существует плоскость симметрии, которая перпендикулярна оси цилиндра и проходит через его середину. Эта плоскость не содержит ось цилиндра, а лишь пересекает ее в одной точке (центре симметрии) под прямым углом. Следовательно, не все плоскости симметрии цилиндра проходят через его ось.

Ответ: бесконечно много; нет, не необходимо.