Номер 3.13, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.13. Диагональ осевого сечения цилиндра, равная 12 см, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите:

1) радиус основания;

2) высоту;

3) площадь основания цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника, диаметр основания и высота цилиндра образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольке гипотенуза — это диагональ осевого сечения ($d=12$ см), один катет — это высота цилиндра ($H$), а второй катет — это диаметр основания ($D$). Угол, который диагональ образует с плоскостью основания, — это угол между диагональю и диаметром основания, и он равен $30^\circ$.

1) радиус основания

В образовавшемся прямоугольном треугольнике диаметр основания $D$ является катетом, прилежащим к углу $30^\circ$. Его можно найти через косинус этого угла:

$D = d \cdot \cos(30^\circ)$

Подставляя известные значения, получаем:

$D = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Радиус основания $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{D}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

2) высоту

Высота цилиндра $H$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$. Её можно найти через синус этого угла:

$H = d \cdot \sin(30^\circ)$

Подставляя известные значения, получаем:

$H = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Ответ: $6$ см.

3) площадь основания цилиндра

Основание цилиндра представляет собой круг. Площадь круга $S_{осн}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

Мы уже нашли радиус $r = 3\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу:

$S_{осн} = \pi \cdot (3\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (3^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = \pi \cdot (9 \cdot 3) = 27\pi$ см$^2$.

Ответ: $27\pi$ см$^2$.