Номер 3.20, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.20. Два различных цилиндра получены вращением прямоугольника вокруг каждой из его сторон. Докажите, что площади поверхностей этих цилиндров равны. Будут ли равны площади их полных поверхностей?

Докажите, что площади поверхностей этих цилиндров равны.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, причем $a \neq b$, так как по условию цилиндры различны.

1. Рассмотрим первый цилиндр, полученный вращением прямоугольника вокруг стороны $a$. В этом случае высота цилиндра $h_1$ будет равна $a$, а радиус его основания $r_1$ будет равен $b$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Для первого цилиндра площадь боковой поверхности будет: $S_{бок1} = 2 \pi r_1 h_1 = 2 \pi b a$.

2. Теперь рассмотрим второй цилиндр, полученный вращением прямоугольника вокруг стороны $b$. В этом случае высота цилиндра $h_2$ будет равна $b$, а радиус его основания $r_2$ будет равен $a$.

Для второго цилиндра площадь боковой поверхности будет: $S_{бок2} = 2 \pi r_2 h_2 = 2 \pi a b$.

Сравнивая полученные площади, видим, что $S_{бок1} = 2 \pi ab$ и $S_{бок2} = 2 \pi ab$.

Следовательно, $S_{бок1} = S_{бок2}$, что и требовалось доказать. В вопросе под "площадями поверхностей", в отличие от "площадей полных поверхностей", подразумеваются площади боковых поверхностей.

Ответ: площади боковых поверхностей цилиндров равны $2 \pi ab$.

Будут ли равны площади их полных поверхностей?

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{осн}$ — площадь основания. Так как основание — круг с радиусом $r$, то $S_{осн} = \pi r^2$. Таким образом, $S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi r (h+r)$.

1. Для первого цилиндра ($h_1 = a$, $r_1 = b$):

$S_{полн1} = 2 \pi r_1 (h_1 + r_1) = 2 \pi b (a+b)$.

2. Для второго цилиндра ($h_2 = b$, $r_2 = a$):

$S_{полн2} = 2 \pi r_2 (h_2 + r_2) = 2 \pi a (b+a)$.

Сравним площади полных поверхностей: $S_{полн1}$ и $S_{полн2}$.

Равенство $S_{полн1} = S_{полн2}$ будет выполняться, если $2 \pi b (a+b) = 2 \pi a (a+b)$.

Поскольку $a>0$ и $b>0$, мы можем сократить на $2 \pi (a+b)$. Получим $b = a$.

Однако по условию задачи цилиндры "различны", что означает, что они получены вращением прямоугольника, не являющегося квадратом. Следовательно, $a \neq b$.

Так как $a \neq b$, то и $S_{полн1} \neq S_{полн2}$.

Ответ: нет, площади их полных поверхностей не равны, так как это возможно только в случае, если бы исходная фигура была квадратом ($a=b$), а не прямоугольником.