Номер 3.22, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.22. Используя условие предыдущей задачи, найдите площадь осевого сечения, если сторона многоугольника равна $\text{a}$.

Поскольку условие предыдущей задачи (3.21) не приведено, мы решим задачу для наиболее распространенных случаев, когда осевым сечением тела вращения (конуса или цилиндра) является правильный многоугольник. Таким многоугольником может быть равносторонний треугольник (для конуса) или квадрат (для цилиндра). В условии сказано, что сторона многоугольника равна $a$.

а) Осевое сечение – равносторонний треугольник.

В этом случае речь идет о конусе, у которого образующая равна диаметру основания. Осевое сечение представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле, использующей сторону и высоту, или по формуле с использованием двух сторон и угла между ними.

1. Через высоту. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по теореме Пифагора: $h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Площадь сечения $S_{сеч}$ равна: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

2. Через угол. Угол в равностороннем треугольнике равен $60^\circ$. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: $S_{сеч} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

б) Осевое сечение – квадрат.

В этом случае речь идет о цилиндре, у которого высота равна диаметру основания (такой цилиндр называют равносторонним). Осевое сечение представляет собой квадрат со стороной $a$. Площадь квадрата $S_{сеч}$ вычисляется как квадрат его стороны.

$S_{сеч} = a \cdot a = a^2$.

Ответ: $S = a^2$.