Номер 3.29, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.29. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, из предыдущей задачи.

Для решения данной задачи необходимо использовать данные о правильной треугольной призме из предыдущей задачи (3.28). Предположим, что в предыдущей задаче были даны следующие параметры призмы: сторона основания $a=8$ и высота (боковое ребро) $H_{призмы}=6$.

Цилиндр описан около правильной треугольной призмы. Это означает, что:

1. Основания призмы (правильные треугольники) вписаны в основания цилиндра (круги).
2. Высота цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы $H_{призмы}$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра $H_{цил}$ и диаметр его основания $D_{цил}$. Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = D_{цил} \cdot H_{цил}$.

1. Найдем высоту цилиндра. Поскольку цилиндр описан около призмы, их высоты совпадают: $H_{цил} = H_{призмы} = 6$.

2. Найдем диаметр основания цилиндра. Основание цилиндра — это круг, описанный около правильного треугольника, который является основанием призмы. Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, находится по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ Подставим значение стороны основания $a = 8$: $R = \frac{8}{\sqrt{3}}$ Диаметр $D_{цил}$ основания цилиндра равен двум радиусам: $D_{цил} = 2R = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$.

3. Найдем площадь осевого сечения цилиндра. Подставим значения высоты и диаметра в формулу площади: $S_{сеч} = D_{цил} \cdot H_{цил} = \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot 6 = \frac{96}{\sqrt{3}}$ Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе: $S_{сеч} = \frac{96}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{96\sqrt{3}}{3} = 32\sqrt{3}$.

Ответ: $32\sqrt{3}$.