Номер 3.34, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.34. Одна из сторон прямоугольника равна 6 см, а диагональ – 10 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, образованного вращением прямоугольника около большей стороны.

Пусть даны стороны прямоугольника $a$ и $b$, и его диагональ $d$. По условию, одна из сторон равна 6 см, а диагональ — 10 см. Пусть $a = 6$ см и $d = 10$ см. Найдем вторую сторону $b$, используя теорему Пифагора, так как стороны и диагональ прямоугольника образуют прямоугольный треугольник:

$a^2 + b^2 = d^2$

$6^2 + b^2 = 10^2$

$36 + b^2 = 100$

$b^2 = 100 - 36 = 64$

$b = \sqrt{64} = 8$ см.

Стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см. Вращение происходит около большей стороны, следовательно, ось вращения совпадает со стороной длиной 8 см. При таком вращении образуется цилиндр, у которого высота $h$ равна большей стороне прямоугольника, а радиус основания $r$ — меньшей стороне.

Таким образом, параметры цилиндра:

Высота $h = 8$ см.

Радиус основания $r = 6$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле, которая включает в себя площадь двух оснований ($2 \cdot S_{осн}$) и площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)$

Подставим значения $r$ и $h$ в формулу:

$S_{полн} = 2\pi \cdot 6(6 + 8)$

$S_{полн} = 12\pi \cdot 14$

$S_{полн} = 168\pi$ см$^2$.

Ответ: $168\pi$ см$^2$.