Номер 3.39, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.39*. На боковой поверхности цилиндра отмечены три точки, каждая пара из которых не лежит на одной образующей. Как найти точку пересечения его произвольной образующей с плоскостью, проходящей через данные три точки? (Рис. 3.15).

Рис. 3.15

Для нахождения искомой точки пересечения произвольной образующей с плоскостью, проходящей через три заданные точки $A$, $B$ и $C$, используется метод, основанный на свойствах аффинных преобразований. Секущая плоскость $(ABC)$ пересекает цилиндр по эллипсу. Ортогональная проекция этого эллипса на плоскость основания цилиндра (вдоль образующих) является окружностью основания. Такое преобразование (проекция) является аффинным.

Ключевое свойство, которое мы будем использовать, заключается в том, что высота $z$ точки на секущей плоскости является линейной функцией координат $(x, y)$ её проекции на плоскость основания. То есть, $z = k_1x + k_2y + k_3$ для некоторых констант $k_1, k_2, k_3$. Из этого следует, что если точки в плоскости основания лежат на одной прямой, то соответствующие им точки в секущей плоскости также лежат на одной прямой. Это позволяет свести трёхмерную задачу к серии двумерных геометрических построений.

Пусть $A, B, C$ — данные точки на боковой поверхности цилиндра, а $A_1, B_1, C_1$ — их ортогональные проекции на плоскость нижнего основания. Высоты точек $A, B, C$ над плоскостью основания равны соответственно $z_A = |AA_1|$, $z_B = |BB_1|$, $z_C = |CC_1|$. Пусть $XX_1$ — произвольная образующая, где $X_1$ — её точка в основании. Требуется найти точку $X$ на этой образующей, лежащую в плоскости $(ABC)$.

Алгоритм построения искомой точки $X$ состоит из следующих шагов:

1. Построение вспомогательной точки на прямой в основании

В плоскости основания проведём прямую через точки $B_1$ и $C_1$. Затем проведём прямую через точки $A_1$ и $X_1$. Найдём точку пересечения этих двух прямых и обозначим её $D_1$. Если прямые $(B_1C_1)$ и $(A_1X_1)$ окажутся параллельными, для построения следует использовать другую пару исходных точек, например, $A$ и $B$ вместо $B$ и $C$.

2. Нахождение высоты вспомогательной точки

Точка $D_1$ является проекцией точки $D$, которая лежит в плоскости $(ABC)$. Поскольку $D_1$ лежит на прямой $(B_1C_1)$, точка $D$ должна лежать на прямой $(BC)$. Так как $A_1, D_1, X_1$ лежат на одной прямой, то и их прообразы $A, D, X$ в плоскости $(ABC)$ также должны лежать на одной прямой. Найдём высоту $z_D$ точки $D$. Так как $D$ лежит на прямой $(BC)$, её высота находится путём линейной интерполяции высот $z_B$ и $z_C$. Это можно сделать с помощью пропорции: $$ \frac{z_D - z_B}{z_C - z_B} = \frac{|B_1D_1|}{|B_1C_1|} $$ где длины отрезков измеряются в плоскости основания (с учётом знака, если $D_1$ лежит вне отрезка $B_1C_1$). Геометрически $z_D$ можно построить следующим образом:

• На вспомогательном чертеже на горизонтальной прямой отложите точки $B_1'$ и $C_1'$ так, чтобы расстояние между ними было равно $|B_1C_1|$.
• В точках $B_1'$ и $C_1'$ восстановите перпендикуляры длиной $z_B$ и $z_C$, получив точки $B''$ и $C''$.
• Соедините точки $B''$ и $C''$ отрезком.
• На прямой $(B_1'C_1')$ отложите точку $D_1'$ так, чтобы её положение относительно $B_1'$ и $C_1'$ соответствовало положению $D_1$ относительно $B_1$ и $C_1$.
• Восстановите перпендикуляр из точки $D_1'$ до пересечения с отрезком $B''C''$ в точке $D''$. Длина отрезка $|D_1'D''|$ и будет искомой высотой $z_D$.

3. Нахождение высоты искомой точки

Теперь мы знаем положение в пространстве двух точек $A$ и $D$, лежащих в секущей плоскости. Искомая точка $X$ лежит на прямой $(AD)$, так как их проекции $A_1, D_1, X_1$ лежат на одной прямой. Таким образом, высоту $z_X$ точки $X$ можно найти аналогичной процедурой линейной интерполяции высот $z_A$ и $z_D$: $$ \frac{z_X - z_A}{z_D - z_A} = \frac{|A_1X_1|}{|A_1D_1|} $$ Геометрическое построение высоты $z_X$ полностью аналогично построению, описанному в шаге 2, но для точек $A$ и $D$ и их проекций $A_1$ и $D_1$.

4. Определение положения искомой точки

Искомая точка $X$ находится на образующей, проходящей через точку $X_1$, на найденной высоте $z_X$ от плоскости основания.

Ответ: Для нахождения точки пересечения произвольной образующей с плоскостью $(ABC)$ необходимо выполнить следующую последовательность построений. Пусть $A_1, B_1, C_1, X_1$ — проекции точек $A, B, C, X$ на плоскость основания. 1) Найти точку $D_1$ пересечения прямых $(A_1X_1)$ и $(B_1C_1)$. 2) Найти высоту $z_D$ точки $D$ (проекцией которой является $D_1$) методом линейной интерполяции высот $z_B$ и $z_C$ в зависимости от положения $D_1$ на прямой $(B_1C_1)$. 3) Найти искомую высоту $z_X$ методом линейной интерполяции высот $z_A$ и $z_D$ в зависимости от положения $X_1$ на прямой $(A_1D_1)$. Искомая точка $X$ будет расположена на образующей, проходящей через $X_1$, на высоте $z_X$.