Номер 3.41, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.41. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиусом 7,5, которая делит высоту треугольника в отношении 17:15. Найдите периметр и площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. Проведем высоту $BH$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Центр вписанной окружности $O$ лежит на пересечении биссектрис, а значит, точка $O$ лежит на высоте $BH$. Точка касания вписанной окружности с основанием $AC$ — это точка $H$, так как $BH \perp AC$. Следовательно, отрезок $OH$ является радиусом вписанной окружности, и его длина $OH = r$.

По условию, радиус $r = 7.5$. Утверждение, что окружность делит высоту в отношении $17:15$, означает, что центр окружности $O$ делит высоту $BH$ на отрезки $BO$ и $OH$. Поскольку в $\triangle ABH$ биссектриса $AO$ делит сторону $BH$ в отношении $\frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH}$, а гипотенуза $AB$ всегда больше катета $AH$, то и $BO$ должно быть больше $OH$. Таким образом, отношение $BO : OH = 17 : 15$.

Зная $OH = r = 7.5$, найдем длину отрезка $BO$:

$BO = \frac{17}{15} \cdot OH = \frac{17}{15} \cdot 7.5 = 17 \cdot 0.5 = 8.5$.

Теперь можем найти полную длину высоты $BH$:

$h = BH = BO + OH = 8.5 + 7.5 = 16$.

Для нахождения сторон треугольника рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BKO$, где $K$ — точка касания окружности со стороной $AB$. В этом треугольнике $OK$ — радиус, поэтому $OK=r=7.5$, а гипотенуза $BO = 8.5$. По теореме Пифагора найдем катет $BK$:

$BK^2 = BO^2 - OK^2 = 8.5^2 - 7.5^2 = (8.5 - 7.5)(8.5 + 7.5) = 1 \cdot 16 = 16$.

$BK = \sqrt{16} = 4$.

Прямоугольные треугольники $\triangle BAH$ (с катетами $AH$, $BH$ и гипотенузой $AB$) и $\triangle BKO$ (с катетами $BK$, $OK$ и гипотенузой $BO$) подобны по общему острому углу $B$. Из подобия следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{AH}{OK} = \frac{BH}{BK} = \frac{AB}{BO}$.

Из отношения $\frac{AH}{OK} = \frac{BH}{BK}$ найдем половину основания $AH$:

$AH = OK \cdot \frac{BH}{BK} = 7.5 \cdot \frac{16}{4} = 7.5 \cdot 4 = 30$.

Следовательно, основание $AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 30 = 60$.

Из отношения $\frac{AB}{BO} = \frac{BH}{BK}$ найдем боковую сторону $AB$:

$AB = BO \cdot \frac{BH}{BK} = 8.5 \cdot \frac{16}{4} = 8.5 \cdot 4 = 34$.

Итак, стороны треугольника равны $34$, $34$ и $60$. Теперь найдем его периметр и площадь.

Периметр треугольника

Периметр $P$ — это сумма длин всех сторон:

$P = AB + BC + AC = 34 + 34 + 60 = 128$.

Ответ: 128.

Площадь треугольника

Площадь $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 16 = 30 \cdot 16 = 480$.

Ответ: 480.