Номер 3.47, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.47. По рис. 3.32 найдите радиус основания, образующую и площадь развертки усеченного конуса.

Рис. 3.32

Радиус основания

Развертка усеченного конуса включает два круга, которые являются его основаниями. Длины их окружностей заданы на рисунке: $C_1 = 5\pi$ (для меньшего основания) и $C_2 = 20\pi$ (для большего основания).

Формула длины окружности: $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус.

Найдем радиус меньшего основания, $r_1$:

$C_1 = 2\pi r_1$

$5\pi = 2\pi r_1$

$r_1 = \frac{5\pi}{2\pi} = 2.5$

Найдем радиус большего основания, $r_2$:

$C_2 = 2\pi r_2$

$20\pi = 2\pi r_2$

$r_2 = \frac{20\pi}{2\pi} = 10$

Ответ: радиусы оснований равны 2.5 и 10.

Образующая

Образующая усеченного конуса, обозначаемая $l$, — это длина отрезка, соединяющего соответствующие точки окружностей оснований на боковой поверхности конуса. На развертке боковой поверхности, которая представляет собой часть кольца, образующая равна ширине этой части кольца.

Согласно рисунку, это значение равно 15.

$l = 15$

Ответ: образующая равна 15.

Площадь развертки

Площадь развертки усеченного конуса $S_{разв}$ равна сумме площадей его двух оснований ($S_1$ и $S_2$) и площади его боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{разв} = S_1 + S_2 + S_{бок}$

1. Площадь меньшего основания (круга с радиусом $r_1 = 2.5$):

$S_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot (2.5)^2 = 6.25\pi$

2. Площадь большего основания (круга с радиусом $r_2 = 10$):

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$

3. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2)l$

Подставим известные значения:

$S_{бок} = \pi (2.5 + 10) \cdot 15 = \pi \cdot 12.5 \cdot 15 = 187.5\pi$

4. Теперь сложим все три площади, чтобы найти общую площадь развертки:

$S_{разв} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 6.25\pi + 100\pi + 187.5\pi = (6.25 + 100 + 187.5)\pi = 293.75\pi$

Ответ: площадь развертки равна $293.75\pi$.