Номер 3.50, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.50. Радиусы основания усеченного конуса, образованного вращением трапеции $ABCD$ вокруг стороны $\text{AB}$, равны $\text{R}$ и $\frac{1}{3}R$. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если площадь трапеции равна $\frac{5}{9}R^2$ (рис. 3.33).

Рис. 3.33

Усеченный конус образован вращением прямоугольной трапеции $ABCD$ вокруг боковой стороны $AB$, перпендикулярной основаниям. Таким образом, $AB$ является высотой усеченного конуса, а $AD$ и $BC$ — радиусами его оснований.

По условию задачи, радиусы оснований равны $R$ и $\frac{1}{3}R$. Пусть $R_{больший} = AD = R$ и $R_{меньший} = BC = \frac{1}{3}R$. Высоту трапеции (и конуса) обозначим как $h = AB$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$ S_{трапеции} = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB $

Подставим известные значения. Нам дано, что $ S_{трапеции} = \frac{5}{9}R^2 $.

$ \frac{5}{9}R^2 = \frac{R + \frac{1}{3}R}{2} \cdot h $

$ \frac{5}{9}R^2 = \frac{\frac{4}{3}R}{2} \cdot h $

$ \frac{5}{9}R^2 = \frac{2}{3}R \cdot h $

Выразим из этого уравнения высоту $h$:

$ h = \frac{5}{9}R^2 \div \frac{2}{3}R = \frac{5R^2}{9} \cdot \frac{3}{2R} = \frac{15R}{18} = \frac{5}{6}R $

Теперь найдем образующую усеченного конуса $l$, которая является боковой стороной $CD$ трапеции. Длину $l$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $(R - \frac{1}{3}R)$.

$ l^2 = h^2 + (R_{больший} - R_{меньший})^2 $

$ l^2 = (\frac{5}{6}R)^2 + (R - \frac{1}{3}R)^2 $

$ l^2 = \frac{25}{36}R^2 + (\frac{2}{3}R)^2 $

$ l^2 = \frac{25}{36}R^2 + \frac{4}{9}R^2 $

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ l^2 = \frac{25}{36}R^2 + \frac{16}{36}R^2 = \frac{41}{36}R^2 $

$ l = \sqrt{\frac{41}{36}R^2} = \frac{\sqrt{41}}{6}R $

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$ S_{бок} = \pi (R_{больший} + R_{меньший}) l $

Подставим найденные значения:

$ S_{бок} = \pi (R + \frac{1}{3}R) \cdot \frac{\sqrt{41}}{6}R $

$ S_{бок} = \pi (\frac{4}{3}R) \cdot \frac{\sqrt{41}}{6}R $

$ S_{бок} = \frac{4\pi\sqrt{41}}{18}R^2 $

Сократив дробь, получим окончательный результат:

$ S_{бок} = \frac{2\pi\sqrt{41}}{9}R^2 $

Ответ: $ \frac{2\pi\sqrt{41}}{9}R^2 $