Номер 3.55, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.55. Радиусы оснований усеченного конуса равны $\text{r}$ и $\text{R}$, а образующая — $\text{l}$. Найдите площадь осевого сечения, если:

1) $r=3$ см, $R=6$ см, $l=5$ см;

2) $r=4$ см, $R=10$ см, $l=10$ см;

3) $r=10$ мм, $R=15$ мм, $l=13$ мм.

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса ($a=2r$, $b=2R$), а боковые стороны равны образующей $l$.

Площадь такой трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $h$ - высота. Подставив наши значения, получим:

$S = \frac{2r+2R}{2}h = (r+R)h$

Высоту $h$ трапеции, которая также является высотой усеченного конуса, можно найти из прямоугольного треугольника. В этом треугольнике гипотенузой является образующая $l$, а катетами — высота $h$ и отрезок, равный разности радиусов $R-r$.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$.

Отсюда выразим высоту $h$: $h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2}$.

Теперь решим задачу для каждого из приведенных случаев.

1) Дано: $r=3$ см, $R=6$ см, $l=5$ см.

Сначала найдем высоту $h$ усеченного конуса:

$h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2} = \sqrt{5^2 - (6-3)^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь найдем площадь осевого сечения:

$S = (r+R)h = (3+6) \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$ см².

Ответ: $36$ см².

2) Дано: $r=4$ см, $R=10$ см, $l=10$ см.

Найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2} = \sqrt{10^2 - (10-4)^2} = \sqrt{100 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Найдем площадь осевого сечения:

$S = (r+R)h = (4+10) \cdot 8 = 14 \cdot 8 = 112$ см².

Ответ: $112$ см².

3) Дано: $r=10$ мм, $R=15$ мм, $l=13$ мм.

Найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2} = \sqrt{13^2 - (15-10)^2} = \sqrt{169 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ мм.

Найдем площадь осевого сечения:

$S = (r+R)h = (10+15) \cdot 12 = 25 \cdot 12 = 300$ мм².

Ответ: $300$ мм².