Номер 3.56, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.56. Используя условие предыдущей задачи, найдите площадь полной поверхности усеченного конуса.

Для решения этой задачи необходимо использовать данные из предыдущей (задача 3.55). Поскольку эти данные не предоставлены, мы сделаем разумное предположение, основанное на типовых задачах из учебников. Предположим, что в условии предыдущей задачи были даны следующие параметры усеченного конуса: радиус большего основания $R = 4$ дм, радиус меньшего основания $r = 2$ дм и высота $h = 1$ дм.

Площадь полной поверхности усеченного конуса ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей его верхнего и нижнего оснований и площади боковой поверхности. Формула для расчета площади полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$

Сначала найдем длину образующей усеченного конуса $l$. Образующая, высота и разность радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$ Подставим наши значения: $l = \sqrt{1^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ дм.

Теперь вычислим площади оснований, которые представляют собой круги. Площадь большего основания: $S_{осн1} = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ дм$^2$. Площадь меньшего основания: $S_{осн2} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ дм$^2$.

Далее вычислим площадь боковой поверхности по формуле $S_{бок} = \pi(R + r)l$: $S_{бок} = \pi(4 + 2)\sqrt{5} = 6\pi\sqrt{5}$ дм$^2$.

Наконец, сложим все полученные значения, чтобы найти площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок} = 16\pi + 4\pi + 6\pi\sqrt{5} = 20\pi + 6\pi\sqrt{5}$ дм$^2$. Для более компактной записи можно вынести общий множитель $2\pi$ за скобки: $S_{полн} = 2\pi(10 + 3\sqrt{5})$ дм$^2$.

Ответ: $2\pi(10 + 3\sqrt{5})$ дм$^2$.