Номер 3.62, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.62. Тело, изображенное на рис. 3.35, образовано вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг большего основания CD. ABFD является квадратом, сторона которого равна r. Покажите, что площадь полной поверхности данного тела определяется формулой $S_{\text{поли}} = \pi r \left(3r + \sqrt{h^2 + r^2}\right)$, если $CF = h$.

Рис. 3.35

Тело, изображенное на рисунке, состоит из цилиндра, образованного вращением квадрата $ABFD$ вокруг оси $CD$, и конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника $CBF$ вокруг катета $CF$.

Площадь полной поверхности данного тела $S_{полн}$ складывается из трех частей:

1. Площадь нижнего основания цилиндра (круга, образованного вращением отрезка $AD$).

2. Площадь боковой поверхности цилиндра (образованной вращением отрезка $AB$).

3. Площадь боковой поверхности конуса (образованной вращением гипотенузы $BC$).

Верхнее основание цилиндра (круг, образованный вращением $BF$) является одновременно основанием конуса и находится внутри тела, поэтому в площадь полной поверхности оно не входит.

Найдем площадь каждой части по отдельности.

Из условия задачи $ABFD$ — квадрат со стороной $r$, следовательно, $AD = AB = BF = FD = r$. Высота цилиндра равна $FD=r$, а радиус его основания равен $AD=r$.

1. Площадь основания цилиндра ($S_{осн}$)

Основание — это круг радиусом $r$. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

2. Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок.цил}$)

Радиус цилиндра $r$, высота цилиндра также равна $r$. Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

$S_{бок.цил} = 2\pi \cdot (\text{радиус}) \cdot (\text{высота}) = 2\pi \cdot r \cdot r = 2\pi r^2$

3. Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок.кон}$)

Радиус основания конуса равен $BF = r$. Высота конуса равна $CF = h$. Для нахождения площади боковой поверхности нам нужна длина образующей конуса $l$, которая равна длине отрезка $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CBF$. По теореме Пифагора:

$BC^2 = BF^2 + CF^2$

$l^2 = r^2 + h^2$

$l = \sqrt{h^2 + r^2}$

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок.кон} = \pi \cdot (\text{радиус}) \cdot (\text{образующая}) = \pi r l = \pi r \sqrt{h^2 + r^2}$

Площадь полной поверхности тела ($S_{полн}$)

Теперь сложим площади всех трех частей:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок.цил} + S_{бок.кон}$

$S_{полн} = \pi r^2 + 2\pi r^2 + \pi r \sqrt{h^2 + r^2}$

Сгруппируем первые два слагаемых:

$S_{полн} = 3\pi r^2 + \pi r \sqrt{h^2 + r^2}$

Вынесем общий множитель $\pi r$ за скобки:

$S_{полн} = \pi r (3r + \sqrt{h^2 + r^2})$

Полученная формула совпадает с той, что была дана в условии задачи. Что и требовалось доказать.

Ответ: В результате последовательного вычисления площади основания цилиндра ($S_{осн} = \pi r^2$), боковой поверхности цилиндра ($S_{бок.цил} = 2\pi r^2$) и боковой поверхности конуса ($S_{бок.кон} = \pi r \sqrt{h^2 + r^2}$), и их последующего сложения $S_{полн} = \pi r^2 + 2\pi r^2 + \pi r \sqrt{h^2 + r^2}$, после упрощения мы приходим к формуле $S_{полн} = \pi r (3r + \sqrt{h^2 + r^2})$, что и подтверждает утверждение задачи.