Номер 3.68, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.68. Осевое сечение конуса есть равносторонний треугольник, а радиус основания равен $\text{R}$. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие конуса, угол между которыми равен $30^\circ$.

По условию задачи, осевое сечение конуса является равносторонним треугольником. Осевое сечение проходит через вершину конуса и диаметр его основания. Пусть вершина конуса будет $S$, а диаметр основания $AB$. Тогда осевое сечение — это равносторонний треугольник $ASB$.

Стороны $AS$ и $SB$ этого треугольника являются образующими конуса, а сторона $AB$ — диаметром основания. Обозначим длину образующей как $l$. Радиус основания по условию равен $R$, значит, диаметр $AB = 2R$.

Поскольку треугольник $ASB$ равносторонний, все его стороны равны: $AS = SB = AB$. Следовательно, длина образующей $l$ равна диаметру основания: $l = 2R$.

Далее нам нужно найти площадь сечения, проходящего через две образующие конуса. Это сечение также является треугольником. Пусть его вершинами будут $S$ (вершина конуса) и точки $C$, $D$ на окружности основания. Сторонами этого треугольника являются две образующие $SC$ и $SD$ и хорда $CD$.

Длины образующих $SC$ и $SD$ равны $l = 2R$. Угол между этими образующими по условию равен $30^\circ$, то есть $\angle CSD = 30^\circ$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin\alpha$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними.

Применим эту формулу для нашего сечения, треугольника $SCD$: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot SC \cdot SD \cdot \sin(\angle CSD)$

Подставим известные значения: $SC = 2R$, $SD = 2R$, $\angle CSD = 30^\circ$. $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot (2R) \cdot \sin(30^\circ)$

Значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{4R^2}{4} = R^2$.

Ответ: $R^2$.