Номер 3.70, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.70. Площади оснований усеченного конуса равны 4 $ \text{см}^2 $ и 25 $ \text{см}^2 $, а его высота разделена на три равные части. Найдите площади сечений усеченного конуса, проходящих через точки деления высоты параллельно основаниям.

Пусть $S_1 = 4 \text{ см}^2$ и $S_2 = 25 \text{ см}^2$ — площади оснований усеченного конуса, а $H$ — его высота. Любое сечение усеченного конуса, параллельное основаниям, является кругом. Радиус такого круга является линейной функцией высоты, на которой он расположен. Обозначим высоту, отсчитываемую от одного из оснований (например, от основания с площадью $S_1$), как $z$. Тогда радиус сечения на высоте $z$ можно записать в виде $r(z) = az+b$.

Площадь сечения на высоте $z$ равна $S(z) = \pi [r(z)]^2$. Следовательно, корень квадратный из площади, $\sqrt{S(z)}$, который пропорционален радиусу $r(z)$, также является линейной функцией высоты $z$. Это свойство означает, что для сечений, расположенных на равном расстоянии друг от друга, последовательность квадратных корней из их площадей образует арифметическую прогрессию.

В данной задаче высота конуса разделена на три равные части. Это означает, что у нас есть четыре параллельных плоскости, расположенные на одинаковом расстоянии $H/3$ друг от друга: основание с площадью $S_1$, первое искомое сечение (обозначим его площадь $S_{сеч1}$), второе искомое сечение (площадь $S_{сеч2}$) и основание с площадью $S_2$. Соответствующие им значения высоты, отсчитываемой от первого основания, равны $0, H/3, 2H/3, H$.

Квадратные корни из площадей $\sqrt{S_1}, \sqrt{S_{сеч1}}, \sqrt{S_{сеч2}}, \sqrt{S_2}$ образуют арифметическую прогрессию. Обозначим члены этой прогрессии $a_0, a_1, a_2, a_3$.

Первый член прогрессии: $a_0 = \sqrt{S_1} = \sqrt{4} = 2$.

Четвертый член прогрессии: $a_3 = \sqrt{S_2} = \sqrt{25} = 5$.

Разность арифметической прогрессии $d$ можно найти по формуле $d = \frac{a_3 - a_0}{3}$:

$d = \frac{5 - 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

Теперь найдем второй и третий члены прогрессии, которые соответствуют квадратным корням из искомых площадей:

$a_1 = a_0 + d = 2 + 1 = 3$.

$a_2 = a_1 + d = 3 + 1 = 4$.

Теперь мы можем найти сами площади сечений, возведя в квадрат найденные значения:

Площадь первого сечения (находящегося на расстоянии $H/3$ от основания с площадью 4 см²): $S_{сеч1} = a_1^2 = 3^2 = 9 \text{ см}^2$.

Площадь второго сечения (находящегося на расстоянии $2H/3$ от основания с площадью 4 см²): $S_{сеч2} = a_2^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2$.

Ответ: 9 см² и 16 см².