Номер 3.76, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.76. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $\text{m}$
и образует с основанием угол $\phi$. Найдите площадь полной поверх-
ности тела, образованного вращением данного треугольника вокруг
основания.

Тело, образованное вращением равнобедренного треугольника вокруг своего основания, представляет собой два одинаковых конуса, соединенных своими основаниями. Площадь полной поверхности такого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ – радиус основания конуса, а $L$ – длина его образующей.

В нашем случае, образующая конуса $L$ совпадает с боковой стороной равнобедренного треугольника, поэтому $L = m$.

Радиус основания конусов $R$ равен высоте равнобедренного треугольника, опущенной из вершины на основание. Эту высоту можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза $m$), высотой (катет $R$) и половиной основания. Угол между боковой стороной и основанием по условию равен $\phi$. В этом прямоугольном треугольнике высота $R$ является катетом, противолежащим углу $\phi$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\phi) = \frac{R}{m}$

Выразим отсюда радиус $R$:

$R = m \sin(\phi)$

Теперь найдем площадь боковой поверхности одного конуса:

$S_{бок} = \pi R L = \pi (m \sin(\phi)) \cdot m = \pi m^2 \sin(\phi)$

Поскольку тело вращения состоит из двух таких конусов, его полная поверхность $S_{полн}$ равна удвоенной площади боковой поверхности одного конуса:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{бок} = 2 \pi m^2 \sin(\phi)$

Ответ: $2 \pi m^2 \sin(\phi)$