Номер 3.80, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.80. Какой должна быть зависимость между образующей и радиусом основания конуса, чтобы площадь полной поверхности конуса была равна площади круга, радиус которого равен высоте конуса?

Обозначим образующую конуса как $l$, радиус его основания как $r$ и высоту как $h$.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ складывается из площади основания (круга радиусом $r$) и площади боковой поверхности. Формула для площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$

Площадь круга $S_{круга}$, радиус которого равен высоте конуса $h$, вычисляется по формуле: $S_{круга} = \pi h^2$

Согласно условию задачи, эти площади должны быть равны: $S_{полн} = S_{круга}$ $\pi r(r+l) = \pi h^2$

Разделим обе части уравнения на $\pi$: $r(r+l) = h^2$

Образующая, радиус и высота конуса связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза, а $r$ и $h$ — катеты: $l^2 = r^2 + h^2$ Отсюда можно выразить $h^2$: $h^2 = l^2 - r^2$

Теперь приравняем два полученных выражения для $h^2$: $r(r+l) = l^2 - r^2$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы найти зависимость между $l$ и $r$: $r^2 + rl = l^2 - r^2$ $l^2 - rl - 2r^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $l$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения, считая $r$ параметром: $l = \frac{-(-r) \pm \sqrt{(-r)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2r^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{r \pm \sqrt{r^2 + 8r^2}}{2} = \frac{r \pm \sqrt{9r^2}}{2} = \frac{r \pm 3r}{2}$

Получаем два возможных решения: $l_1 = \frac{r + 3r}{2} = \frac{4r}{2} = 2r$ $l_2 = \frac{r - 3r}{2} = \frac{-2r}{2} = -r$

Поскольку образующая $l$ и радиус $r$ являются длинами, они могут быть только положительными величинами. Следовательно, решение $l = -r$ не имеет физического смысла.

Таким образом, единственным верным решением является $l = 2r$.

Ответ: образующая конуса должна быть в два раза больше радиуса его основания, то есть $l = 2r$.