Практическая работа, страница 119 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

«Нұр Әлем» – архитектурный символ Экспо – 2017 в городе Нур-Султан. Это самое большое в мире сферообразное здание, его диаметр равен 80 м. Здание состоит из восьми этажей. Вычислим площадь сечения здания вдоль 7-го этажа (рис. 3.50).

Рис. 3.50

Для решения данной задачи мы будем рассматривать здание «Нұр Әлем» как идеальную сферу. Сечение сферы плоскостью представляет собой круг. Наша цель — найти площадь этого круга на уровне 7-го этажа.

1. Нахождение радиуса сферы

Из условия известно, что диаметр здания $d$ составляет 80 метров. Радиус сферы $R$ — это половина ее диаметра.

$R = \frac{d}{2} = \frac{80 \text{ м}}{2} = 40 \text{ м}.$

На представленной схеме (рис. 3.50) этот радиус соответствует отрезку $OC$.

2. Определение высоты сечения относительно центра сферы

Здание имеет 8 этажей, и его общая высота равна диаметру, то есть 80 м. Предположим, что этажи распределены равномерно по высоте. В этом случае высота одного этажа составляет:

$h_{этажа} = \frac{80 \text{ м}}{8 \text{ этажей}} = 10 \text{ м/этаж}.$

Центр сферы (экватор, точка O на схеме) находится на высоте 40 м от основания здания. Будем считать, что нумерация этажей идет снизу вверх. Тогда пол 7-го этажа находится на высоте $6 \times 10 = 60$ м от основания.

Чтобы найти расстояние от центра сферы до плоскости сечения 7-го этажа (отрезок $OB$ на схеме), вычтем высоту центра сферы из высоты 7-го этажа:

$h = 60 \text{ м} - 40 \text{ м} = 20 \text{ м}.$

3. Нахождение радиуса сечения

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBC$, образованный радиусом сферы $OC$ (гипотенуза), расстоянием от центра сферы до сечения $OB$ (катет) и радиусом сечения $BC$ (второй катет, обозначим его как $r$).

Согласно теореме Пифагора: $OC^2 = OB^2 + BC^2$, или $R^2 = h^2 + r^2$.

Выразим квадрат радиуса сечения $r^2$:

$r^2 = R^2 - h^2$

Подставим известные значения:

$r^2 = 40^2 - 20^2 = 1600 - 400 = 1200 \text{ м}^2.$

4. Вычисление площади сечения

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Используя найденное значение $r^2$, получаем:

$S = \pi \cdot 1200 = 1200\pi \text{ м}^2.$

Для получения численного значения можно использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$:

$S \approx 1200 \cdot 3,14 = 3768 \text{ м}^2.$

Ответ: $1200\pi \text{ м}^2.$