Вопросы, страница 120 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какую поверхность называют сферой? Какие ее элементы вы знаете?

2. Что такое шар? Чем он отличается от сферы?

3. Запишите уравнение сферы.

4. Какую плоскость называют касательной плоскостью? Какие ее свойства вы знаете?

5. Запишите уравнение касательной к сфере.

6. Какие многогранники называются вписанными в сферу, а какие – описанными около нее?

7. Запишите формулу площади сферы.

8. Что вы понимаете под шаровым слоем (слоем поверхности)?

9. Докажите формулу площади сферы.

1. Какую поверхность называют сферой? Какие ее элементы вы знаете?

Сферой называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром сферы. Сфера является поверхностью вращения, образованной вращением полуокружности вокруг своего диаметра.

Основными элементами сферы являются:

Центр сферы – точка, от которой равноудалены все точки сферы.

Радиус сферы ($R$) – отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой. Также радиусом называют длину этого отрезка.

Хорда сферы – отрезок, соединяющий две любые точки сферы.

Диаметр сферы ($D$) – хорда, проходящая через центр сферы. Длина диаметра равна двум радиусам ($D = 2R$).

Большой круг – сечение сферы плоскостью, проходящей через ее центр. Длина окружности большого круга равна $2\pi R$.

Малый круг – сечение сферы плоскостью, не проходящей через ее центр.

Ответ: Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра).

2. Что такое шар? Чем он отличается от сферы?

Шар – это геометрическое тело, ограниченное сферой. Шар включает в себя все точки пространства, которые находятся на расстоянии, не превышающем радиус, от центра. Иными словами, шар – это сфера вместе с ее внутренним пространством.

Основное отличие шара от сферы заключается в их размерности и содержании. Сфера – это двумерная поверхность (оболочка), она полая внутри. Шар – это трехмерное тело, он включает в себя и поверхность (сферу), и все точки внутри этой поверхности. Можно провести аналогию: если футбольный мяч – это сфера (его резиновая поверхность), то арбуз (вместе с кожурой и мякотью) – это шар.

Ответ: Шар – это тело, ограниченное сферой. Сфера является границей шара, в то время как шар включает в себя и границу, и все внутренние точки.

3. Запишите уравнение сферы.

Уравнение сферы в декартовой системе координат выводится из определения сферы как множества точек, равноудаленных от центра. Пусть центр сферы $C$ имеет координаты $(x_0; y_0; z_0)$, а радиус сферы равен $R$. Тогда для любой точки $M(x; y; z)$, лежащей на сфере, расстояние от $C$ до $M$ должно быть равно $R$.

Расстояние между точками $C$ и $M$ вычисляется по формуле:

$|CM| = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}$

Так как это расстояние равно $R$, мы получаем:

$\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} = R$

Возведя обе части в квадрат, получим каноническое уравнение сферы:

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$

Если центр сферы совпадает с началом координат $O(0; 0; 0)$, то уравнение принимает более простой вид:

$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$

Ответ: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0; z_0)$ – координаты центра, а $R$ – радиус сферы.

4. Какую плоскость называют касательной плоскостью? Какие ее свойства вы знаете?

Касательной плоскостью к сфере называют плоскость, имеющую со сферой ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.

Основные свойства касательной плоскости:

1. Теорема о касательной плоскости: Радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Это означает, что угол между радиусом и любой прямой, лежащей в касательной плоскости и проходящей через точку касания, равен $90^\circ$.

2. Обратная теорема: Если плоскость проходит через точку на сфере и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта плоскость является касательной к сфере.

3. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости и проходящая через точку касания, является касательной прямой к сфере в этой точке.

Ответ: Касательная плоскость – это плоскость, имеющая со сферой одну общую точку. Ее основное свойство: она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

5. Запишите уравнение касательной к сфере.

Вопрос, вероятно, относится к уравнению касательной плоскости, так как в точке на сфере существует бесконечное множество касательных прямых, которые все лежат в одной касательной плоскости. Найдем уравнение этой плоскости.

Пусть дана сфера с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$. Ее уравнение: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$. Пусть $M_1(x_1; y_1; z_1)$ – точка касания, принадлежащая сфере.

Согласно свойству касательной плоскости, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой плоскости. Вектор $\vec{CM_1}$ является вектором нормали к плоскости. Координаты этого вектора: $\vec{n} = \vec{CM_1} = (x_1 - x_0; y_1 - y_0; z_1 - z_0)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_1(x_1; y_1; z_1)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$.

Подставив координаты нашего вектора нормали, получаем уравнение касательной плоскости:

$(x_1 - x_0)(x - x_1) + (y_1 - y_0)(y - y_1) + (z_1 - z_0)(z - z_1) = 0$.

Для сферы с центром в начале координат ($x^2 + y^2 + z^2 = R^2$) и точкой касания $M_1(x_1; y_1; z_1)$ уравнение значительно упрощается и принимает вид: $x_1x + y_1y + z_1z = R^2$.

Ответ: $(x_1 - x_0)(x - x_1) + (y_1 - y_0)(y - y_1) + (z_1 - z_0)(z - z_1) = 0$, где $(x_0; y_0; z_0)$ – центр сферы, а $(x_1; y_1; z_1)$ – точка касания.

6. Какие многогранники называются вписанными в сферу, а какие – описанными около нее?

Вписанный многогранник: Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на поверхности этой сферы. В этом случае сфера называется описанной около многогранника.

Описанный многогранник: Многогранник называется описанным около сферы, если все его грани касаются этой сферы. В этом случае сфера называется вписанной в многогранник. Центр такой сферы равноудален от всех граней многогранника.

Ответ: Вписанный в сферу многогранник имеет все свои вершины на сфере. Описанный около сферы многогранник имеет все свои грани касательными к сфере.

7. Запишите формулу площади сферы.

Площадь поверхности сферы $S$ радиусом $R$ вычисляется по формуле, которая связывает площадь с числом $\pi$ и квадратом радиуса.

Ответ: $S = 4\pi R^2$.

8. Что вы понимаете под шаровым слоем (слоем поверхности)?

Под шаровым слоем (или, точнее, слоем поверхности сферы, также называемым сферическим поясом) понимают часть поверхности сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферу.

Круги, получающиеся в сечении сферы этими плоскостями, называются основаниями сферического пояса. Расстояние между этими плоскостями называется высотой сферического пояса ($h$). Если одна из плоскостей является касательной к сфере, то одно из оснований вырождается в точку, и такой слой поверхности называют сферическим сегментом.

Площадь сферического пояса вычисляется по формуле $S = 2\pi R h$, где $R$ – радиус сферы, а $h$ – высота пояса. Примечательно, что эта площадь зависит только от радиуса сферы и высоты пояса, но не от его положения на сфере.

Ответ: Шаровой слой (слой поверхности) – это часть сферы, расположенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

9. Докажите формулу площади сферы.

Докажем формулу площади сферы $S=4\pi R^2$ с помощью интегрального исчисления. Для этого найдем площадь поверхности верхней полусферы и умножим результат на 2.

1. Рассмотрим сферу радиуса $R$ с центром в начале координат. Ее уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$. Верхняя полусфера задается функцией $z = f(x, y) = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$. Областью определения этой функции является круг $D$ на плоскости $Oxy$ с уравнением $x^2 + y^2 \le R^2$.

2. Площадь поверхности, заданной функцией $z = f(x, y)$, вычисляется по формуле:

$S = \iint_D \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} \,dx\,dy$.

3. Найдем частные производные функции $z$:

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2x}{2\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}} = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}} = -\frac{x}{z}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-2y}{2\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}} = \frac{-y}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}} = -\frac{y}{z}$

4. Подставим производные в подынтегральное выражение:

$\sqrt{1 + (-\frac{x}{z})^2 + (-\frac{y}{z})^2} = \sqrt{1 + \frac{x^2+y^2}{z^2}} = \sqrt{\frac{z^2+x^2+y^2}{z^2}}$

Так как $x^2+y^2+z^2=R^2$, получаем: $\sqrt{\frac{R^2}{z^2}} = \frac{R}{z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}$.

5. Интеграл для площади полусферы принимает вид:

$S_{1/2} = \iint_D \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}} \,dx\,dy$.

6. Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам: $x = r \cos\phi$, $y = r \sin\phi$, $dx\,dy = r\,dr\,d\phi$. Область $D$ в полярных координатах задается неравенствами $0 \le r \le R$ и $0 \le \phi \le 2\pi$. Выражение $x^2+y^2$ становится равным $r^2$.

$S_{1/2} = \int_0^{2\pi} \int_0^R \frac{R}{\sqrt{R^2 - r^2}} r\,dr\,d\phi$.

7. Вычислим внутренний интеграл по $r$:

$\int_0^R \frac{Rr}{\sqrt{R^2 - r^2}} dr = R \int_0^R (R^2 - r^2)^{-1/2} r\,dr$. Сделаем замену $u = R^2 - r^2$, тогда $du = -2r\,dr$, или $r\,dr = -du/2$.

$R \int_{R^2}^0 u^{-1/2} (-\frac{1}{2}du) = -\frac{R}{2} [\frac{u^{1/2}}{1/2}]_{R^2}^0 = -R[\sqrt{u}]_{R^2}^0 = -R(0 - \sqrt{R^2}) = R^2$.

8. Теперь вычислим внешний интеграл по $\phi$:

$S_{1/2} = \int_0^{2\pi} R^2 \,d\phi = R^2 [\phi]_0^{2\pi} = R^2 (2\pi - 0) = 2\pi R^2$.

9. Мы нашли площадь полусферы. Чтобы найти площадь всей сферы, умножим результат на 2:

$S = 2 \cdot S_{1/2} = 2 \cdot 2\pi R^2 = 4\pi R^2$.

Формула доказана.

Ответ: Формула площади сферы $S = 4\pi R^2$ доказывается через вычисление двойного интеграла от элемента площади по поверхности сферы, что приводит к искомому результату.