Номер 3.84, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.84. а) Основание $\text{AB}$ трапеции $ABCD$ в два раза больше основания $\text{CD}$ и боковой стороны $\text{AD}$. Диагональ $\text{AC}$ равна $\text{a}$, а боковая сторона $\text{BC}$ равна $\text{b}$. Найдите площадь трапеции.

б) В трапеции $ABCD$ основание $\text{CD}$, диагональ $\text{BD}$ и боковая сторона $\text{AD}$ равны $\text{p}$, а боковая сторона $BC - q$. Найдите диагональ $\text{AC}$.

а) Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, причем $AB \parallel CD$.

По условию задачи: $AB$ в два раза больше основания $CD$ и боковой стороны $AD$, диагональ $AC = a$ и боковая сторона $BC = b$.

Пусть $CD = x$. Тогда из условия следует, что $AD = x$ и $AB = 2x$.

Проведем через точку $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AD$, до пересечения с основанием $AB$ в точке $E$. Полученный четырехугольник $AECD$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны ($AE \parallel CD$ и $AD \parallel CE$).

Следовательно, $AE = CD = x$ и $CE = AD = x$.

Точка $E$ лежит на отрезке $AB$. Так как $AB = 2x$ и $AE = x$, то $E$ является серединой основания $AB$. Отсюда $EB = AB - AE = 2x - x = x$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $CE$ соединяет вершину $C$ с серединой противолежащей стороны $AB$, значит $CE$ является медианой треугольника $ABC$.

Длина медианы треугольника вычисляется по формуле: $m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$. В нашем случае медиана $CE=x$, стороны, выходящие из той же вершины, $AC=a$, $BC=b$, и сторона, к которой проведена медиана, $AB = 2x$.

Подставим эти значения в формулу длины медианы:

$CE^2 = \frac{2AC^2 + 2BC^2 - AB^2}{4}$

$x^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - (2x)^2}{4} = \frac{2a^2 + 2b^2 - 4x^2}{4}$

Умножим обе части на 4:

$4x^2 = 2a^2 + 2b^2 - 4x^2$

$8x^2 = 2a^2 + 2b^2$

$4x^2 = a^2 + b^2$

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AB$. Эта высота является также высотой треугольника $CEB$, проведенной к стороне $EB$.

Рассмотрим треугольник $CEB$. Его стороны равны $CE=x$, $EB=x$ и $BC=b$. Это равнобедренный треугольник. Его площадь можно найти по формуле Герона. Полупериметр $s = \frac{x+x+b}{2} = \frac{2x+b}{2}$.

$S_{CEB} = \sqrt{s(s-x)(s-x)(s-b)} = \sqrt{\frac{2x+b}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{2x-b}{2}} = \frac{b}{4}\sqrt{(2x+b)(2x-b)} = \frac{b}{4}\sqrt{4x^2-b^2}$.

С другой стороны, площадь этого треугольника равна $S_{CEB} = \frac{1}{2} \cdot EB \cdot h = \frac{1}{2} xh$.

Приравняем два выражения для площади:

$\frac{1}{2}xh = \frac{b}{4}\sqrt{4x^2-b^2}$

$h = \frac{b}{2x}\sqrt{4x^2-b^2}$

Подставим ранее найденное соотношение $4x^2 = a^2 + b^2$:

$h = \frac{b}{2x}\sqrt{(a^2+b^2)-b^2} = \frac{b}{2x}\sqrt{a^2} = \frac{ab}{2x}$.

Площадь трапеции $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле $S = \frac{AB+CD}{2}h$.

Подставим наши значения: $AB=2x$, $CD=x$, $h = \frac{ab}{2x}$.

$S_{ABCD} = \frac{2x+x}{2} \cdot \frac{ab}{2x} = \frac{3x}{2} \cdot \frac{ab}{2x} = \frac{3ab}{4}$.

Ответ: $\frac{3ab}{4}$.

б) Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ ($AB \parallel CD$).

По условию задачи: $CD=p$, диагональ $BD=p$, боковая сторона $AD=p$ и боковая сторона $BC=q$. Требуется найти длину диагонали $AC$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Он является равнобедренным, так как $AD=BD=p$. Пусть углы при основании $AB$ равны $\angle DAB = \angle DBA = \alpha$.

Так как $ABCD$ — трапеция, сумма углов при боковой стороне $AD$ равна $180^\circ$.

$\angle ADC + \angle DAB = 180^\circ$, откуда $\angle ADC = 180^\circ - \alpha$.

Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle ADB = 180^\circ - (\angle DAB + \angle DBA) = 180^\circ - 2\alpha$.

Угол $\angle ADC$ можно представить как сумму углов $\angle ADB$ и $\angle BDC$.

$\angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = (180^\circ - \alpha) - (180^\circ - 2\alpha) = \alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. В нем известны стороны $CD=p$, $BD=p$, $BC=q$ и угол между сторонами $CD$ и $BD$: $\angle BDC = \alpha$.

Применим теорему косинусов для треугольника $BCD$:

$BC^2 = CD^2 + BD^2 - 2 \cdot CD \cdot BD \cdot \cos(\angle BDC)$

$q^2 = p^2 + p^2 - 2 \cdot p \cdot p \cdot \cos(\alpha)$

$q^2 = 2p^2 - 2p^2\cos(\alpha) = 2p^2(1 - \cos(\alpha))$

Из этого уравнения выразим $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha) = 1 - \frac{q^2}{2p^2}$.

Теперь найдем искомую диагональ $AC$. Рассмотрим треугольник $ADC$. Он равнобедренный, так как по условию $AD=p$ и $CD=p$. Угол между этими сторонами равен $\angle ADC = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ADC$:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC)$

$AC^2 = p^2 + p^2 - 2 \cdot p \cdot p \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$

$AC^2 = 2p^2 - 2p^2(-\cos(\alpha)) = 2p^2(1 + \cos(\alpha))$.

Подставим в это выражение найденное значение $\cos(\alpha)$:

$AC^2 = 2p^2 \left(1 + \left(1 - \frac{q^2}{2p^2}\right)\right) = 2p^2 \left(2 - \frac{q^2}{2p^2}\right)$

$AC^2 = 4p^2 - q^2$.

Следовательно, длина диагонали $AC$ равна $\sqrt{4p^2 - q^2}$.

Ответ: $\sqrt{4p^2 - q^2}$.