Номер 3.89, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.89. Диаметр сферы равен 13 см. Площадь половины ее диаметрального сечения равна $ \frac{169\pi}{8} $ см$^2$. Докажите, что площадь сферы равна $169\pi$ см$^2$ (рис. 3.52).

Рис. 3.52

Для доказательства того, что площадь сферы равна $169\pi$ см², воспользуемся формулой площади поверхности сферы и данными, представленными в условии задачи. Площадь поверхности сферы $S$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ — это радиус сферы.

Радиус сферы $R$ связан с её диаметром $D$ простым соотношением: $R = \frac{D}{2}$.

По условию, диаметр сферы равен $D = 13$ см. Используя это значение, найдем радиус сферы:

$R = \frac{13}{2}$ см.

Теперь, зная радиус, мы можем вычислить площадь поверхности сферы, подставив его значение в основную формулу:

$S = 4\pi \left(\frac{13}{2}\right)^2$.

Возведем радиус в квадрат и выполним умножение:

$S = 4\pi \frac{13^2}{2^2} = 4\pi \frac{169}{4}$.

Сократив множитель 4 в числителе и знаменателе, получаем итоговый результат:

$S = 169\pi$ см².

Таким образом, мы доказали, что площадь сферы действительно равна $169\pi$ см².

В задаче также приводится дополнительная информация: площадь половины диаметрального сечения равна $\frac{169\pi}{8}$ см². Проверим, согласуются ли эти данные с нашими расчетами. Диаметральное сечение сферы представляет собой круг, радиус которого совпадает с радиусом сферы $R$. Площадь такого круга равна $\pi R^2$. Следовательно, площадь половины этого сечения (полукруга) вычисляется как $\frac{1}{2}\pi R^2$.

Подставим в эту формулу найденный нами радиус $R = \frac{13}{2}$ см:

Площадь половины сечения = $\frac{1}{2}\pi \left(\frac{13}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\pi \frac{169}{4} = \frac{169\pi}{8}$ см².

Полученное значение полностью совпадает со значением, данным в условии, что подтверждает согласованность всех исходных данных и верность нашего доказательства.

Ответ: доказано, что площадь сферы равна $169\pi$ см².