Номер 3.96, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.96. Вершины прямоугольника с диагональю, равной 24 см, лежат на сфере радиусом 13 см. Найдите расстояние от плоскости прямоугольника до центра сферы.

Пусть $R$ — радиус сферы, а $O$ — её центр. По условию задачи, $R = 13$ см.

Поскольку все вершины прямоугольника лежат на сфере, это означает, что плоскость, в которой находится прямоугольник, пересекает сферу. Линией пересечения является окружность, на которой лежат все вершины прямоугольника. Эта окружность называется сечением сферы.

Центром окружности, описанной около любого прямоугольника, является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку как $O'$. Радиус этой описанной окружности (которая является сечением сферы) равен половине длины диагонали прямоугольника. Обозначим этот радиус как $r$.

Диагональ прямоугольника $d$ по условию равна 24 см. Тогда радиус сечения $r$ будет: $r = \frac{d}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Расстояние от плоскости прямоугольника до центра сферы — это длина перпендикуляра, опущенного из центра сферы $O$ на плоскость сечения. Основанием этого перпендикуляра является центр сечения $O'$. Обозначим искомое расстояние как $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояние $h$ (отрезок $OO'$) и радиус сечения $r$ (отрезок от $O'$ до любой вершины прямоугольника), а гипотенузой — радиус сферы $R$ (отрезок от $O$ до той же вершины прямоугольника).

Согласно теореме Пифагора, мы имеем соотношение: $R^2 = r^2 + h^2$.

Из этой формулы выразим квадрат искомого расстояния $h^2$: $h^2 = R^2 - r^2$

Теперь подставим числовые значения $R = 13$ и $r = 12$: $h^2 = 13^2 - 12^2$ $h^2 = 169 - 144$ $h^2 = 25$ $h = \sqrt{25}$ $h = 5$ см.

Таким образом, расстояние от плоскости прямоугольника до центра сферы составляет 5 см.

Ответ: 5 см.