Номер 3.101, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.101. Найдите площадь сечения сферы, проведенного на расстоянии 9 см от ее центра, если радиус сферы равен 41 см.

Сечение сферы плоскостью представляет собой круг. Радиус этого круга (обозначим его $r$), расстояние от центра сферы до плоскости сечения (обозначим его $d$) и радиус самой сферы (обозначим его $R$) связаны между собой через теорему Пифагора. Они образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус сферы $R$ является гипотенузой, а расстояние $d$ и радиус сечения $r$ — катетами.

Таким образом, справедливо равенство: $R^2 = d^2 + r^2$

Нам нужно найти площадь сечения, которая является площадью круга с радиусом $r$. Формула площади круга: $S = \pi r^2$

Сначала найдем квадрат радиуса сечения $r^2$ из соотношения Пифагора: $r^2 = R^2 - d^2$

Согласно условию задачи, радиус сферы $R = 41$ см, а расстояние от центра до сечения $d = 9$ см. Подставим эти значения в формулу: $r^2 = 41^2 - 9^2$

Вычислим значения квадратов: $41^2 = 1681$ $9^2 = 81$

Теперь найдем $r^2$: $r^2 = 1681 - 81 = 1600$

Итак, квадрат радиуса сечения равен $1600$ см². Теперь мы можем найти площадь сечения $S$, подставив это значение в формулу площади круга: $S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 1600 = 1600\pi$ см².

Ответ: $1600\pi$ см².